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Bilinear map

释义 / Definition

双线性映射:一种函数 \(B: V \times W \to U\),当固定其中一个变量时,关于另一个变量是线性的。也就是说,对每个固定的 \(w\),映射 \(v \mapsto B(v,w)\) 线性;对每个固定的 \(v\),映射 \(w \mapsto B(v,w)\) 也线性。(在数学中常见;在某些语境下也可简称为“双线性形式/双线性函数”,但严格上可能目标空间不同。)

发音 / Pronunciation (IPA)

/ˌbaɪˈlɪniər mæp/

例句 / Examples

The dot product is a bilinear map.
点积是一个双线性映射。

Given vector spaces \(V\) and \(W\), any bilinear map \(V \times W \to U\) corresponds to a linear map \(V \otimes W \to U\).
给定向量空间 \(V\) 和 \(W\),任意双线性映射 \(V \times W \to U\) 都对应于一个线性映射 \(V \otimes W \to U\)。

词源 / Etymology

bilinear 由前缀 bi-(“二、双”)+ linear(“线性的”)构成,表示“对两个变量分别线性”;map 在数学里常指“映射/函数”。合起来即“双线性映射”。

相关词 / Related Words

文学与名著用例 / Notable Works

  • Algebra — Serge Lang(讨论双线性映射与张量积等代数结构)
  • Multilinear Algebra — Werner Greub(系统讲解双线性/多线性映射与张量)
  • Representation Theory: A First Course — William Fulton & Joe Harris(在表示论与构造中出现双线性映射)
  • Introduction to Smooth Manifolds — John M. Lee(在微分几何中,张量与双线性映射相关概念频繁出现)
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