Bijective Proof

释义 Definition（中文）

bijective proof（双射证明）：一种常见于组合数学的证明方法，通过构造两个集合之间的双射（bijection）——也就是既一一对应又可逆的映射——来证明它们的元素个数相等，从而证明两个计数公式或恒等式成立。（也常用于解释“为什么相等”，不仅是“算出来相等”。）

发音 Pronunciation（IPA）

/baɪˈdʒɛktɪv pruːf/

词源 Etymology（中文）

bijective 来自 bijection（双射）一词，常追溯到法语 bijection，其中 bi- 表示“二、两”，后半部分与拉丁语 iacere（“投、掷、抛出”）相关的词根演变有关，后来在数学中固定为“对应/映射”的术语体系。
proof 源自拉丁语 probare（“检验、证明、证实”）。组合起来，bijective proof 字面意思就是“用双射来完成的证明”。

例句 Examples

A bijective proof shows that these two sets have the same number of elements.
双射证明表明这两个集合的元素个数相同。

Instead of manipulating generating functions, she gave a bijective proof that pairs each lattice path with a unique partition of the same weight.
她没有去操作生成函数，而是给出了一个双射证明：把每条格路径与一个同权重的整数分拆唯一对应起来。

相关词 Related Words

• Bijection
• Combinatorics
• Injective
• Surjective
• Isomorphism
• Double Counting
• Generating Function
• Invariant

文学与名著用例 Literary Works（中文）

以下作品中常见对 bijective proof（或同类“构造双射”的证明思想）的讨论与示例：

• Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof（Benjamin & Quinn）：大量用双射与组合解释来“看见”恒等式为何成立。
• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）：在计数与恒等式相关章节中多次出现双射/组合证明风格。
• generatingfunctionology（Herbert S. Wilf）：虽以生成函数为主，但也对比并穿插组合与构造性证明思路。
• A=B（Petkovšek, Wilf, Zeilberger）：涉及恒等式证明方法的体系中，常与组合（含双射）证明形成对照与互补。