Algebraic Equivalence

定义（中文） / Definition

algebraic equivalence 指“代数等价（关系）”：两个代数式、方程或变形步骤在给定条件下表示相同的数学关系/相同的值集合，因此可以互相替换而不改变结论（常见于化简、移项、因式分解、同解变形等）。在某些语境下也可指“在某个代数结构中等价”（如同余、同构意义下的等价），但最常见的是中学与基础高数层面的“变形后仍等价”。

发音（IPA） / Pronunciation (IPA)

/ˌæl.dʒɪˈbreɪ.ɪk ɪˈkwɪv.əl.əns/

例句 / Examples

Two expressions can look different but still have algebraic equivalence.
两个表达式看起来不同，但仍可能在代数意义上等价。

To prove algebraic equivalence, she transformed both sides step by step and checked that each manipulation preserved the solution set under the stated domain restrictions.
为了证明代数等价，她逐步变形等式两边，并核对在给定的定义域限制下每一步操作都保持解集不变。

词源（中文） / Etymology

algebraic 来自 algebra（代数），而 algebra 源于阿拉伯语 al-jabr（“复原、配平/移项”之意），最早与花剌子密（Al-Khwarizmi）的代数著作相关。equivalence 来自拉丁语 aequus（相等）+ valere（有同等价值/效力），合起来强调“在某种规则或条件下具有同等效力”。因此 algebraic equivalence 强调“在代数规则下等效/等价”。

相关词汇 / Related Words

• Equivalent
• Identity
• Equality
• Congruence
• Transformation
• Substitution
• Simplification
• Factorization
• Solution Set
• Domain Restriction

文学与名著用例 / Notable Works

• G. H. Hardy《A Course of Pure Mathematics》——讨论等价变形与证明中的“等价/等值”思想常见。
• Saunders Mac Lane & Garrett Birkhoff《Algebra》——在更抽象的代数框架下使用“equivalence/等价”相关概念。
• Israel M. Gelfand & Alexander Shen《Algebra》——用大量例题展示代数式变形与“等价”判断。
• Paul R. Halmos《Naive Set Theory》——虽偏集合论，但“等价关系（equivalence relation）”的语言常与代数等价思想相通。