Functoriality

定义 / Definition

functoriality（函子性）：在范畴论中，指某个构造或对应关系能够以“函子”的方式自然地运作——也就是说，它不仅把对象对应到对象，还把态射（映射）对应到态射，并且保持恒等态射与复合。常用于表达“这个过程对映射也同样兼容、而且是自然的”。（在不同语境下也可泛指“满足函子性质的程度/性质”。）

发音 / Pronunciation (IPA)

/ˌfʌŋk.təˌri.æl.ə.ti/

词源 / Etymology

由 functor（函子）+ 后缀 -ial（“……的”）+ 名词后缀 -ity（“性质/状态”）组成。Functor 一词源自拉丁语 functor（“执行者/履行者”），在数学中被借用来指连接两个范畴、并保结构的映射；functoriality 则用来概括“具有函子式一致性”的性质。

例句 / Examples

Functoriality means the construction respects maps between objects.
函子性意味着这个构造会尊重对象之间的映射。

The functoriality of homology ensures that a continuous map induces a homomorphism between homology groups, compatible with composition.
同调的函子性保证：一个连续映射会在同调群之间诱导出同态，并且与映射的复合相容。

相关词 / Related Words

• Functor
• Category
• Morphism
• Natural
• Naturality
• Natural transformation
• Adjunction
• Homology
• Covariant
• Contravariant

文学与名著用例 / Notable Works

• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician（《为工作中的数学家而写的范畴论》）：频繁讨论各种构造（如极限、同调、导出函子等）的 functoriality。
• Steve Awodey, Category Theory（《范畴论》）：在介绍函子、自然变换时常用 functoriality 来强调“对态射也一致”的结构保持性。
• Tom Leinster, Basic Category Theory（《基础范畴论》）：用 functoriality 说明许多“从对象到对象的构造”如何扩展为函子。
• Eilenberg & Mac Lane 的早期范畴论与同调代数论文：讨论同调等不变量的函子观点时会涉及 functoriality 的表述与思想。