Arzelà–Ascoli

定义 Definition

Arzelà–Ascoli（Arzelà–Ascoli 定理）是分析学/泛函分析中的一个经典紧致性判别定理：在适当的函数空间（常见如 \(C(K)\)）里，一族连续函数如果满足一致有界并且等度连续（并且定义域 \(K\) 常取紧致），那么它在一致范数下是相对紧的（即任意序列都能抽出一致收敛的子序列）。

（注：不同教材表述略有差别，但核心思想都是用“有界 + 等度连续”来保证存在一致收敛子序列。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ɑːr.zəˈlɑː əˈskoʊ.li/

例句 Examples

The Arzelà–Ascoli theorem helps us extract a uniformly convergent subsequence.
Arzelà–Ascoli 定理帮助我们抽取一个一致收敛的子序列。

By verifying equicontinuity and uniform boundedness on a compact set, we apply Arzelà–Ascoli to prove precompactness in \(C(K)\).
通过在紧致集合上验证等度连续与一致有界，我们运用 Arzelà–Ascoli 定理来证明在 \(C(K)\) 中的相对紧性。

词源 Etymology

该名称来自两位意大利数学家 Cesare Arzelà（切萨雷·阿尔泽拉） 与 Giulio Ascoli（朱利奥·阿斯科利）。这一定理在19世纪末逐步形成与完善，后来成为实分析、函数空间理论与偏微分方程紧致性方法中的基础工具之一。

相关词 Related Words

• Compactness
• Equicontinuity
• Uniform
• Bounded
• Subsequence
• Convergence
• Continuous
• Precompact
• Heine-Borel
• Bolzano-Weierstrass

文献与著作中的出现 Notable Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在紧致性与一致收敛相关章节常提及或使用该定理思想。
• Functional Analysis（Walter Rudin）——作为函数空间紧致性工具在多个论证中出现。
• A Course in Functional Analysis（John B. Conway）——讨论 \(C(K)\) 等空间时常引用 Arzelà–Ascoli 型结论。
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）——与测度、函数列与紧致性讨论相关处可见其应用脉络。
• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans）——在用紧致性方法构造解或证明收敛时常用到 Arzelà–Ascoli 思路（与等度连续/一致估计相呼应）。