一道贝叶斯概率题

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这是一个创建于 1000 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

设桌子长度为 1 （想象为一条线），上面有一个小点，可能在 0, 1/3, 2/3, 1 处（不知道具体位置）。我们滚动小球，它会以等概率停在桌子的任意点，但同样不知道球的位置，只能知道球在点的左边还是右边（不会重合）。

这里取的先验分布是小点以等概率分布在 0, 1/3, 2/3, 1 处。现在反复滚 n 次球，有 x 次在点右边，有 n-x 次在点左边。

现在想知道，这个点在每个位置的概率分别是多少？

（可以用 B_i 表示小点在 i/3 处，用 A=1 和 A=0 表示球在点的右 /左边，p=x/n ）

我自己苦思冥想没搞懂，最后算出来的概率总和竟然不是 1 。

第 1 条附言 · 2022-02-25 23:28:15 +08:00

7 楼貌似是对的解法。

还有一个没太大搞明白的点是，假设小点在 1/3 ，当 n 接近无穷时，为啥 x/n 会按比例接近 1/3 ？直觉上可以理解，但感觉无法用定理表达出来。

概率

桌子

任意点

贝叶斯

20 条回复 • 2022-02-26 02:04:21 +08:00

lance6716

2022-02-25 22:43:45 +08:00 via Android

是说小球始终只有一个起始位置，进行了 n 次重复实验吗

x97bgt

2022-02-25 22:45:13 +08:00

@lance6716 对。每次试验小球滚到的位置都不一样

lance6716

2022-02-25 22:58:36 +08:00 via Android

这咋算

A=0|B_i 是二项分布（ n ，i/3 ），乘 P （ B_i ）求和能得到 P （ A=0 ），其中有 P （ B0 ）等 4 个未知量其中三个线性无关，i 不知能不能消掉。手机打字不易

不如直接算个假设检验😂

x97bgt

2022-02-25 23:06:26 +08:00

@lance6716 这里要涉及二项分布吗？

我们要求的应该是 `P( B_i | 概率 x/n 落在右边)` 这个概率吧？

我隐约感觉只要利用好 p=x/n 这个概率就可以了，但我不知道咋算。。。

x97bgt

2022-02-25 23:07:17 +08:00

@lance6716 现在想想，貌似不需要用到 A=1 和 A=0 这个符号？

lance6716

2022-02-25 23:12:32 +08:00 via Android

如果是第一次 A 的结果、第二次 A 的结果…这样还可以不断修正先验。如果直接得到 n 和 p 的话就不会算了😂

chenzhekl

2022-02-25 23:16:06 +08:00 via Android

设点的位置为 X ，由题知 P(X=0)=P(X=1/3)=P(X=2/3)=P(X=1)=1/4 。

再设 Y 为 n 次试验下小球在点右边的次数，由题可知（不妨设球与点重合时，视作在点右侧）：
1. P(Y=x | X=0)=1 当且仅当 x=N ，否则为 0 ，
2. P(Y=x | X=1/3)=C(n,x)(2/3)^x(1/3)^{n-x}，
3. P(Y=x | X=2/3)=C(n,x)(1/3)^x(2/3)^{n-x}，
4. P(Y=x | X=1)=0 。

那么，由贝叶斯定理，P(X=k | Y=x)=P(Y=x | X=k)P(X=k)/P(Y=x)=P(Y=x | X=k)P(X=k)

lance6716

2022-02-25 23:16:10 +08:00 via Android

n 和 x 。
感觉可以假设给定 n 和 x 的每种 A 的历史是等概率的，然后按照每种历史迭代、取个平均值。看看这个怎么化简。

概率论结课已经七年了，等一个在读大佬😂

chenzhekl

2022-02-25 23:16:33 +08:00 via Android

手机打字太困难了，剩下的自己算吧。。。

x97bgt

2022-02-25 23:22:10 +08:00

@chenzhekl 你这个貌似是对的。代进 n=1, Y=1 算，X=0 是 1/2 。

lance6716

2022-02-25 23:22:17 +08:00 via Android

#7
我悟了，既然不知道 n 次里面哪些是 x ，只能这 n 次之中就不迭代先验了，直接把 1/4 的等概率套进去算

x97bgt

2022-02-25 23:25:44 +08:00

@chenzhekl @lance6716

我之前一直只用 p=x/n 去算，结果陷入无趣了。

不过如果 x 和 n 不知道，只知道 p=x/n （同时 n 是一个不太大的数，不接近无穷）。这样能算出来概率么？貌似算不出来的样子。

lance6716

2022-02-25 23:28:09 +08:00 via Android

@x97bgt 这要化简看看了，等下一次摸鱼时间着

x97bgt

2022-02-25 23:44:49 +08:00 via iPhone

@lance6716 @chenzhekl

另外，比如点在 1/3 ，如果试验次数 n 接近无穷，那 x/n 也接近 1/3 ，此时 P(点在 1/3 处)应该等于 1 （直觉上）。

所以应该有 x/n 越接近 1/3 ，P(点在 1/3 处)越大。

尚且不知道怎么证明，但感觉很神奇。

lance6716

2022-02-26 00:10:01 +08:00 via Android

答案还挺简洁

wormtooth

2022-02-26 00:47:28 +08:00

@chenzhekl

对 7 楼的一点补充。我们约定如果 x=0 ，0^x = 1 ，对于 x>0 ，0^x=0. 那么
P(Y=x|X=0) = 0^{n-x}
P(Y=x|X=1/3) = C(n,x)(2/3)^x(1/3)^{n-x}
P(Y=x|X=2/3) = C(n,x)(1/3)^x(2/3)^{n-x}
P(Y=x|X=1) = 0^x

我们要先算出
P(Y=x) = P(Y=x|X=0)P(X=0) + P(Y=x|X=1/3)P(X=1/3) + P(Y=x|X=2/3)P(X=2/3) + P(Y=x|X=1)P(X=1)
然后再用贝叶斯：
P(X=k|Y=x) = P(Y=x|X=k)P(X=k) / P(Y=x)

wormtooth

2022-02-26 00:54:39 +08:00

@x97bgt 14 楼

x/n 越接近 1/3 ，P(X=2/3|Y=x)越接近 1 才对，不是 X=1/3 。因为 x 是出现在点右边的次数。

如果 x/n 接近 1/3 ，那么不妨假设 x 和 n-x 都不是 0 ，这时
P(X=2/3|Y=x) = 1/(1+2^(2x-n))
如果 x/n 接近 1/3 ，那么 2x-n 接近-x ，当 n 趋于无穷是，x 也趋于无穷，所以 P(X=2/3|Y=x)趋于 1 。

Xs0ul

2022-02-26 01:29:37 +08:00

对于 0 和 1/3 ，先验里它们概率一样，观测时也无法区分（都是左边），那他们的后验概率也应该一致吧？只要算左右再平分就好

Xs0ul

2022-02-26 01:31:48 +08:00

感觉是我理解错题意了，这么化简不对

ignor

2022-02-26 02:04:21 +08:00 via Android

不是很懂…n 次 x 次什么的不是样本吗？根据样本只能估计出概率吧，怎么还能算出来的