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将 1 米长的木棒“随机分成 3 段”
假设得到的三段木棒的长度分别为 a, b, c
有下面两种分配方法：
方法 1 在[0, 1]范围内取变量 X ， Y ；
X 与 Y 相互独立，服从均匀分布。
a, b, c 分别为 shuffle( min(X, Y), abs(X - Y), 1 - max(X, Y) )
方法 2 在[0, 1]范围内取变量 X ， Y ， Z ；
X 、 Y 、 Z 相互独立，服从均匀分布。 S = sum(X, Y, Z)；若 S 为 0 ，则重新选取 X, Y, Z
a, b, c 分别为 X / S, Y / S, Z / S
问题一 分别求两种方法得到的三段木棒长度的期望，各自服从什么分布？
问题二 分别求两种方法得到的三段木棒中，存在长度＞ 0.5 米木棒的概率
问题受到这个贴子的启发： https://www.v2ex.com/t/320507
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ykk 2016-11-15 14:33:28 +08:00
概率论挂科的人来看看 还记得概率论期末考试就有分小木棍
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Chrisplus 2016-11-15 14:59:20 +08:00
那个帖子最大的问题就是没有用正确的数学语言表述问题，结果下面评论就炸开了
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murmur 2016-11-15 15:03:08 +08:00
@Chrisplus 那个帖子和这个帖子都是一个人发的啊
概率不是写写帖子就说的明白的 而且要完整的数学表述和语文表述 少一个字都不行 就跟抽签一样 同样的动作 一个抽一个开一个 一个抽完一起开 居然一个公平一个不公平 没办法 数学和语文现在同等重要 PS 楼主概率论多少分？没 90 分以上别讨论这些问题，会把自己绕进去的，有些概率题真的反常识 |
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shierji 2016-11-15 15:05:37 +08:00 via Android
门外汉表示 这两个居然有区别？
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murmur 2016-11-15 15:09:08 +08:00
另外，[0,1]这个是闭区间哦，如果有没长度的木棍 算不算 3 段呢
真心建议楼主把数学恶补好再来提问 |
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qinjiannet OP @murmur 分得的木棍长度允许为 0 。比如(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)都是允许的。
还有别的细节问题，欢迎追问 :) |
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YvesX 2016-11-15 15:39:37 +08:00 via iPhone
楼上的话可能听起来有点尖锐，但是在理。
既然楼主这么认真，不如再夯实一下基础吧。 |
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Bryan0Z 2016-11-15 16:49:24 +08:00 via Android
方法二期望应该都是 1/3 ，大概
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angusdwhite 2016-11-15 17:20:42 +08:00
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Quaintjade 2016-11-15 17:38:50 +08:00
方法 1 画三个图就知道了，用几何法求重心就行
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franklinyu 2016-11-16 00:27:48 +08:00  1
我算出來的結果是：方法一，三段長度都長度符合 f(x) = 2-2x 的概率密度分佈。
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20150517 2016-11-16 01:34:55 +08:00
我是门外汉,我觉得这很有意思,要懂这个原理,请教要看什么书?
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franklinyu 2016-11-16 01:55:45 +08:00
@20150517 應該隨便看一本概率論的教材就可以了
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franklinyu 2016-11-16 02:01:43 +08:00
@murmur {{5L}}: 開閉區間應該無所謂的，因為端點的測度是 0
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franklinyu 2016-11-16 02:19:04 +08:00 1
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franklinyu 2016-11-16 02:20:19 +08:00
@Bryan0Z {{10L}}: 兩種方法的數學期望都是 1/3
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franklinyu 2016-11-16 02:21:44 +08:00
既然概率密度有了，具體的概率大家應該都會算了
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sixg0d 2016-11-16 11:25:37 +08:00 1
方法 1 的问题一就是求次序统计量的分布。
问题二的反面就是能组成三角形的概率，这个在初中竞赛有学。 方法 1 的话(x,y)是[0,1]*[0,1]的均匀分布，能构成三角形的区域为两个三角形，面积为 1/4 ，所以概率 1/4. 突然发现那时老师讲的方法是错的：第一段长度 a, 第二段长度 b ，(a,b)可能空间为(1,0), (0,0), (0,1)三点之间的三角形，符合要求区域为(0.5,0), (0.5,0.5), (0,0.5)之间的三角形，面积占 1/4. 虽然答案对，但(a,b)在这上面完全不是均匀分布啊，概率就不是面积比了啊。 当时我就想着，如果先均匀取一点，再在右侧均匀取一点（就是你之前帖子提到的），组成三角形概率多少。我当时用均匀分割有限趋近无限的方法求极限算出个包含 log 的答案（现在想想就是微积分），后来数学小论文还写了这个，然而市里好几个老师认为我算的是错的，答案应该和上一题一样。当时不知道怎么跟他们讲清楚，现在想到如你所说期望都不一样。。。 |
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qinjiannet OP @sixg0d 问题一的期望貌似是一样的 都是 1/3 1/3 1/3
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sixg0d 2016-11-16 12:07:37 +08:00
@qinjiannet 楼楼上应该靠谱， since 他学过测度
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xrlin 2016-11-16 18:43:37 +08:00 via iPhone
(ｰ ｰ;)我得回去翻教材了，几乎全忘了
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franklinyu 2016-11-18 11:47:00 +08:00
其實，沒有一個是「真正平均的分佈」，關鍵其實只要滿足兩點：
1. 三段的分佈情況相同； 2. 有一定分佈（也就是說不要固定是 1/3 ）。 就足夠了。第一點應該能夠保證數學期望是 1/3 。我之前給出的兩個分佈都滿足以上兩點。 |
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franklinyu 2016-11-18 11:56:05 +08:00
哦，還有一點，要能無限接近 0 和 1 。用數學的語言來說，就是（高能預警）：
記概率密度函數為 f(x)。給定任意的 δ>0 ，則 f(x) 在區間 (0, δ) 上的積分大於零，且在區間 (1-δ, 1) 上的積分也大於零。 |
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