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V2EX 提问指南
xlvecle
V2EX  ›  问与答

现有一个 m*n 的矩阵,矩阵外围一周的点的值是已知的,矩阵当中每个点的值都是上下左右四个点的平均值,请求出每个点的值。

  •  
  •   xlvecle · 2014-11-24 18:52:17 +08:00 · 3399 次点击
    这是一个创建于 3637 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    18 条回复    2014-11-25 18:48:18 +08:00
    picasso250
        1
    picasso250  
       2014-11-24 19:11:23 +08:00
    For a given point [i,j], we could write down it's expression,
    v[i,j] = (v[i-1,j] + v[i+1, j] + v[i, j-1] + v[i, j+1]) / 4.
    If all the 4 points' value is known, we could calculate the value of v[i,j]. This condition is the base condition, 3x3 matrix.

    In general, we could write down (m-2)*(n-2) equations about all unknown points, hence we could solve that system of linear equations.

    For us coder, we just need to make another matrix and solve it.
    kokdemo
        2
    kokdemo  
       2014-11-24 19:24:22 +08:00
    感觉就是一层层的向内收缩吧
    xlvecle
        3
    xlvecle  
    OP
       2014-11-24 19:28:52 +08:00
    @picasso250 谢谢,但是我用递归操作起来发现并不是是很容易实现,最后会陷入互相等待,不知道有没有什么具体的意见
    xlvecle
        4
    xlvecle  
    OP
       2014-11-24 19:29:44 +08:00
    @kokdemo 本身我也感觉收缩就行了,但是递归到最后出不来,该怎么搞
    miaoever
        5
    miaoever  
       2014-11-24 19:51:51 +08:00
    这是在做滤波么
    ruoyu0088
        6
    ruoyu0088  
       2014-11-24 19:53:12 +08:00
    解线性方程组。
    hahastudio
        7
    hahastudio  
       2014-11-24 20:09:25 +08:00
    我觉得解方程逃不掉
    递归的话,需要有一个真能直接算出来的点作为 trigger,才有可能带起整个栈
    比如,一个 4×3 的矩阵:
    1, 2, 3, 4
    2, ?, ?, 4
    3, 3, 3, 4

    a[1][1] = a[1][2] / 2 + 7/2;
    a[1][2] = a[1][1] / 2 + 5;

    这两个你都无法直接算出,只能寄希望于矩阵
    xlvecle
        8
    xlvecle  
    OP
       2014-11-24 20:16:32 +08:00
    @hahastudio 说道点子上了,解方程逃不掉,可是目前思路不明确
    xlvecle
        9
    xlvecle  
    OP
       2014-11-24 20:24:11 +08:00
    @miaoever 嗯,双线性插值什么的
    kokdemo
        10
    kokdemo  
       2014-11-24 21:08:49 +08:00
    @xlvecle 对于m*n的矩阵
    可以先确定 0,0 ;m,0;0,n;m,n四个点的值。
    然后就可以求出1,0;0,1;m-1,0;m,1;1,n;0;n-1;m-1,n;n-1;m
    八个点,然后继续算2,3,……
    直到这一圈被连接在一起

    然后继续算下个矩形
    zzutmebwd
        11
    zzutmebwd  
       2014-11-24 21:12:15 +08:00
    回去看线性代数书吧。。。忘光了
    xlvecle
        12
    xlvecle  
    OP
       2014-11-24 22:06:11 +08:00
    @kokdemo 周围一圈的值都是确定的,它们不是周围点的平均值,所以1,1就没法直接求出来,往里面走比较困难。
    akfish
        13
    akfish  
       2014-11-24 22:53:25 +08:00
    不就是解线性方程组嘛,根据题目条件构造系数矩阵A很容易,然后高斯消元,搞定。
    1r5b6rRCaViA78f6
        14
    1r5b6rRCaViA78f6  
       2014-11-25 01:11:09 +08:00 via Android
    2m+2n+4个线性方程组解mn个未知数 你确定?
    1r5b6rRCaViA78f6
        15
    1r5b6rRCaViA78f6  
       2014-11-25 01:19:19 +08:00 via Android
    额 搞错了 应该是mn个方程组 用个mn*mn的矩阵进行求逆?
    picasso250
        16
    picasso250  
       2014-11-25 10:10:35 +08:00
    @xlvecle 这个不是递归,是解方程组。
    ruoyu0088
        17
    ruoyu0088  
       2014-11-25 15:05:25 +08:00
    可以用迭代法,或者用稀疏矩阵解方程,下面是程序:

    http://nbviewer.ipython.org/github/ruoyu0088/openbooks/blob/master/average_matrix.ipynb
    xlvecle
        18
    xlvecle  
    OP
       2014-11-25 18:48:18 +08:00
    @ruoyu0088 受教了,谢谢
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