With Probability One

定义 Definition

with probability one：在概率论中表示“以概率为 1”，也常等同于“几乎必然（almost surely）”。意思是某件事发生的概率为 1，但不等于逻辑上的绝对必然：仍可能存在概率为 0 的例外情况。

例句 Examples

The coin will eventually show heads with probability one if you keep flipping it.
如果你一直抛这枚硬币，它最终会出现正面，这一点以概率一成立。

Under mild assumptions, the sample average converges to the expected value with probability one.
在较弱的条件下，样本平均值会以概率一收敛到期望值。

发音 Pronunciation

/wɪð ˌprɑːbəˈbɪləti wʌn/

词源 Etymology

该短语来自现代测度论化的概率论表述：把“概率”视为一种测度（measure），当某事件的测度为 1，就说它发生“with probability one”。在许多教材与论文中，它常用于表达“几乎处处成立/几乎必然”的严格含义。

相关词 Related Words

• Almost Surely
• Almost Everywhere
• Measure
• Event
• Probability
• Converge
• Limit

文学与名著用例 Literary Works

• Foundations of the Theory of Probability（A. N. Kolmogorov）：以概率为 1 的事件与公理化概率框架中经常出现的表述
• Probability: Theory and Examples（Rick Durrett）：在强大数定律、收敛理论等章节反复使用
• Convergence of Probability Measures（Patrick Billingsley）：讨论各种收敛概念时常用“with probability one”区分不同强度的收敛
• Probability with Martingales（David Williams）：在鞅与几乎必然收敛相关定理中常见