Uniform-Convergence

释义 Definition（中文）

一致收敛：在数学分析中，指一个函数序列 \(f_n\) 在某个集合上收敛到 \(f\)，并且这种收敛对所有点“同样快”（误差界不依赖于点的位置）。其核心特点是：存在同一个 \(N\)，使得当 \(n \ge N\) 时，对集合中所有 \(x\) 都能同时保证 \(|f_n(x)-f(x)|\) 足够小。
（该术语主要用于函数序列/级数；与“逐点收敛”相对。）

发音 Pronunciation（IPA）

/ˈjuːnɪfɔːrm kənˈvɜːrdʒəns/

例句 Examples

Uniform convergence is stronger than pointwise convergence.
一致收敛比逐点收敛更强。

If a series of functions has uniform convergence on an interval, we can often interchange limits and integrals under suitable conditions.
如果一个函数级数在某个区间上一致收敛，在适当条件下我们通常可以交换极限与积分的次序。

词源 Etymology（中文）

uniform 源自拉丁语 ūniformis（“形状一致的、同一形式的”），强调“统一、同样”；convergence 来自拉丁语 convergere（“汇聚到一起”）。合起来 uniform convergence 直译为“以统一方式汇聚（到极限）”，对应其数学含义：误差控制对整个集合保持一致。

相关词 Related Words

• Uniform
• Convergence
• Pointwise-Convergence
• Cauchy-Criterion
• Uniform-Continuity
• Limit
• Sequence
• Series
• Supremum

文学与经典著作 Notable Works（中文）

• Walter Rudin：《Principles of Mathematical Analysis（数学分析原理）》——在实分析框架中系统讨论一致收敛及其推论。
• Tom M. Apostol：《Mathematical Analysis（数学分析）》——以函数序列与函数级数为背景讲解一致收敛、交换极限等结论。
• Elias M. Stein & Rami Shakarchi：《Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces（实分析）》——在更广的分析语境中使用并扩展一致收敛相关思想。
• R. G. Bartle & D. R. Sherbert：《Introduction to Real Analysis（实分析导论）》——以学习者友好的方式呈现一致收敛与逐点收敛的差异。