Triangle Inequality

释义 Definition

三角不等式：在几何或度量空间中表示“直线最短”的基本性质。最常见形式是：对任意点 \(x,y,z\)，有
\[ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) \] 在实数中常见的等价形式是：
\[ |a+b|\le |a|+|b| \] （该术语在不同领域也会有推广形式，如范数空间中的三角不等式。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈtraɪˌæŋɡəl ˌɪnɪˈkwɑːləti/

例句 Examples

The triangle inequality says the shortest path between two points is a straight line.
三角不等式说明两点之间的最短路径是直线。

Using the triangle inequality, we can bound the error by splitting it into two simpler terms.
利用三角不等式，我们可以把误差拆成两个更简单的部分，从而得到上界估计。

词源 Etymology

triangle 来自拉丁语 triangulum（“三角形”，由 *tri-*“三” + angulus“角”构成）；inequality 来自拉丁语 inaequalitas（“不相等”）。短语 triangle inequality 最初与欧几里得几何中的“三角形两边之和大于第三边”（或更一般的“距离满足三角形法则”）相关，后来成为度量空间、范数空间与分析学中的核心公理/性质。

相关词 Related Words

• Absolute Value
• Cauchy-Schwarz Inequality
• Distance
• Euclidean Geometry
• Metric
• Metric Space
• Minkowski Inequality
• Norm
• Normed Space
• Vector

文学与经典著作 Literary Works

• Euclid, Elements（《几何原本》）：以几何形式体现“三角形两边与第三边”的不等关系，是三角不等式思想的源头之一。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：在度量空间/分析的语境中系统使用三角不等式进行估计与证明。
• E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications（《泛函分析导论及其应用》）：在范数与赋范线性空间中以三角不等式为基本性质，频繁用于证明收敛与界估计。
• Dmitri Burago et al., A Course in Metric Geometry（《度量几何教程》）：以“三角不等式”作为度量的核心公理，展开度量几何的基本理论。