Symmetric Polynomial

定义 Definition

对称多项式：在多个变量的多项式中，如果把变量进行任意交换（置换），多项式的值不变，则称为对称多项式。最常见的是在 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 中对所有置换都不变的多项式。（在数学里它还有更深入的推广与相关理论。）

发音 Pronunciation (IPA)

/sɪˈmɛtrɪk ˌpɑːlɪˈnoʊmiəl/

例句 Examples

A simple example of a symmetric polynomial is \(x+y\).
对称多项式的一个简单例子是 \(x+y\)。

Any symmetric polynomial in \(x_1,\dots,x_n\) can be expressed in terms of the elementary symmetric polynomials.
任意关于 \(x_1,\dots,x_n\) 的对称多项式都可以用基本对称多项式来表示。

词源 Etymology

symmetric 来自希腊语 symmetria，意为“比例匀称、对称”；polynomial 由 *poly-*（“多、许多”）与 -nomial（与“项/名称”相关）构成，整体表示“由多项组成的代数式”。“symmetric polynomial”字面意思就是“具有对称性的不变多项式”。

相关词 Related Words

• Algebra
• Permutation
• Invariant
• Elementary
• Variable
• Coefficient
• Symmetry
• Polynomial

文学与经典著作 Literary Works

• Symmetric Functions and Hall Polynomials — Ian G. Macdonald（系统讨论对称函数/对称多项式理论的经典著作）
• Abstract Algebra — David S. Dummit & Richard M. Foote（在群作用、伽罗瓦理论等语境中常涉及对称多项式思想）
• Algebra — Michael Artin（在代数结构与对称性相关章节中会出现对称多项式与相关观点）