Sobolev Space

定义 Definition

Sobolev space（索博列夫空间）是泛函分析与偏微分方程中常用的一类函数空间，用来描述“函数本身及其（弱）导数”在某种意义下是可积（通常是 \(L^p\)）的函数集合，常记为 \(W^{k,p}\)（或在 \(p=2\) 时记为 \(H^k\)）。它为研究PDE解的存在性、唯一性与正则性提供了自然框架。（该术语在不同参数 \(k,p\) 下有多种具体形式。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsoʊbəˌlɛv speɪs/

例句 Examples

We study solutions in a Sobolev space.
我们在索博列夫空间中研究解。

The weak formulation ensures the solution lies in the Sobolev space \(W^{1,2}(\Omega)\), which allows us to control both the function and its first derivatives in an integral sense.
弱形式保证解属于索博列夫空间 \(W^{1,2}(\Omega)\)，从而使我们能在积分意义下同时控制函数本身及其一阶导数。

词源 Etymology

Sobolev来自俄国数学家Sergei L. Sobolev（谢尔盖·索博列夫）的姓氏；这类空间与“弱导数/广义导数”的思想密切相关，最初用于更好地处理偏微分方程中不够光滑（不可经典求导）的函数。

相关词 Related Words

• Functional Analysis
• Banach Space
• Hilbert Space
• Weak Derivative
• Weak Solution
• Lp Space
• PDE
• Embedding Theorem

文学与著作中的用例 Literary Works

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations（《偏微分方程》）
• Robert A. Adams & John J. F. Fournier, Sobolev Spaces（《索博列夫空间》）
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations（《泛函分析、索博列夫空间与偏微分方程》）
• David Gilbarg & Neil S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order（《二阶椭圆型偏微分方程》）