Quotient Map

定义 Definition

quotient map（商映射/商映射函数）：在拓扑学中，指一个满射 \(q: X \to Y\)，使得 \(Y\) 上的开集恰好对应为 \(X\) 中在 \(q\) 下的原像是开集：
\(U \subseteq Y\) 是开集 当且仅当 \(q^{-1}(U)\) 在 \(X\) 中是开集。
直观上，它把 \(X\) 中某些点“按等价关系粘合/识别”后得到空间 \(Y\)，并以最自然的方式把拓扑传递到 \(Y\)。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkwoʊʃənt mæp/

例句 Examples

A quotient map identifies points in a space to form a new space.
商映射会把空间中的一些点识别为同一点，从而形成一个新空间。

Let \(q: X \to X/{\sim}\) be the quotient map; then a set in \(X/{\sim}\) is open exactly when its preimage under \(q\) is open in \(X\).
设 \(q: X \to X/{\sim}\) 为商映射；则 \(X/{\sim}\) 中的集合当且仅当在 \(q\) 下的原像在 \(X\) 中为开集时才是开集。

词源 Etymology

quotient 原意是“商、除法结果”，来自拉丁语 quotiens（“多少次/几次”）并经法语进入英语；在数学里引申为“把某个对象按关系分组后得到的结果”，如“商集/商空间”。map 在数学语境中常指“映射/函数”。因此 quotient map 字面即“与商构造相配套的映射”，强调它把“识别点之后的结构”正确地反映为目标空间的拓扑。

相关词 Related Words

• Quotient Space
• Equivalence Relation
• Identification Map
• Surjection
• Continuous Map
• Open Set
• Topology

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• James R. Munkres, Topology（《拓扑学》）：在“商拓扑（quotient topology）/识别空间”章节系统使用 quotient map。
• Allen Hatcher, Algebraic Topology（《代数拓扑》）：在构造商空间、CW 复形与粘合映射时频繁出现 quotient map。
• John L. Kelley, General Topology（《一般拓扑学》）：用 quotient map 讨论最终拓扑（final topology）与连续性性质。