Quadratic Form

定义 Definition

quadratic form（二维/多维二次型）：数学中指由变量的二次项组成的表达式，通常写作
\[ Q(x)=x^{T}Ax \] 其中 \(x\) 是向量，\(A\) 是矩阵（常取对称矩阵）。它常用于描述“长度/能量/曲率”等性质，并在优化、几何与数论中很重要。

发音 Pronunciation (IPA)

/kwɒˈdrætɪk fɔːrm/ （英式）
/kwɑːˈdrætɪk fɔːrm/ （美式）

例句 Examples

A quadratic form in two variables can be written as \(ax^2+bxy+cy^2\).
二元二次型可以写成 \(ax^2+bxy+cy^2\)。

To determine whether the critical point is a minimum, we examine the quadratic form \(x^T H x\) defined by the Hessian matrix \(H\).
为了判断临界点是否为极小值，我们要考察由海森矩阵 \(H\) 定义的二次型 \(x^T H x\)。

词源 Etymology

quadratic 来自拉丁语 quadratus（“方形的、成平方的”），与 “square（平方）” 的概念相关；在代数里引申为“二次的”。form 表示“形式/表达式”。合起来 quadratic form 就是“二次（多项式）形式/二次型”。

相关词 Related Words

• Bilinear
• Definite
• Eigenvalue
• Hessian
• Matrix
• Positive
• Symmetric

文学与经典著作 Literary Works

• Disquisitiones Arithmeticae（高斯 Gauss）：数论中系统讨论二次型与相关理论的重要经典。
• Rational Quadratic Forms（J. W. S. Cassels）：专门研究有理数域上的二次型理论。
• A Course in Arithmetic（Jean-Pierre Serre）：包含二次型在数论背景下的核心内容。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）：在线性代数与应用中讲解二次型、对称矩阵与正定性。