Prime Number Theorem

定义 Definition

素数定理：数论中的一个重要定理，描述素数在自然数中的分布规律。它说明当 \(x\) 很大时，小于等于 \(x\) 的素数个数 \(\pi(x)\) 近似等于 \(\frac{x}{\ln x}\)（更精确地说，\(\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}\)）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌpraɪm ˈnʌmbər ˈθiːərəm/

例句 Examples

The prime number theorem tells us roughly how many primes are below a large number.
素数定理告诉我们：在一个很大的数以下，大约有多少个素数。

Using the prime number theorem, we can estimate \(\pi(10^{12})\) by \(10^{12}/\ln(10^{12})\), even though counting the primes directly would be difficult.
利用素数定理，我们可以用 \(10^{12}/\ln(10^{12})\) 来估计 \(\pi(10^{12})\)，尽管直接数出所有素数会很困难。

词源 Etymology

“Prime number theorem”由“prime number（素数）”与“theorem（定理）”组成：prime源自拉丁语 primus（“第一、最初”），在数学里引申为“基本的、不可再分解的”；theorem源自希腊语 theōrēma（“被观察到的结论”）。该术语用来指关于素数分布的核心结论，19世纪末由哈达玛（Hadamard）与德拉瓦莱-普桑（de la Vallée Poussin）独立证明。

相关词 Related Words

• Asymptotic
• Chebyshev
• Logarithm
• Number Theory
• Prime
• Prime-Counting Function
• Riemann Hypothesis
• Zeta Function

文学与著作中的用例 Literary Works

• G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers（《数论导引》）
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory（《解析数论导论》）
• H. M. Edwards, Riemann’s Zeta Function（《黎曼ζ函数》）
• E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function（《黎曼ζ函数论》）
• Jacques Hadamard, “Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s)…”（关于ζ函数零点分布的论文，含素数定理证明思路）
• C.-J. de la Vallée Poussin, “Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers” （关于素数理论的解析研究，含素数定理证明）