Natural Isomorphism

定义 Definition

natural isomorphism（自然同构）：在范畴论中，指两个函子 \(F, G\) 之间的自然变换 \(\eta: F \Rightarrow G\)，并且对每个对象 \(X\)，分量 \(\eta_X: F(X)\to G(X)\) 都是同构；等价地，\(\eta\) 具有逐点可逆性，且满足自然性条件。常用来表达“两个构造在不依赖任意选择的情况下本质相同”。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈnætʃ(ə)rəl aɪˌsɒmərˈfɪzəm/

例句 Examples

A natural isomorphism shows that these two functors are essentially the same.
自然同构表明这两个函子在本质上是相同的。

In category theory, a natural isomorphism between \(F\) and \(G\) means each component map \(\eta_X: F(X)\to G(X)\) is invertible and the family \(\{\eta_X\}\) respects all morphisms.
在范畴论中，\(F\) 与 \(G\) 之间的自然同构意味着每个分量映射 \(\eta_X: F(X)\to G(X)\) 都可逆，并且这族映射 \(\{\eta_X\}\) 对所有态射都满足自然性（相容）条件。

词源 Etymology

natural 源自拉丁语 nātūralis（“天生的、自然的”），在数学里引申为“无需任意选择、与结构相容的”。isomorphism 来自希腊语 *iso-*（相同）+ morphē（形状），意为“保持结构的同构”。合起来的 natural isomorphism 强调：不仅逐点是同构，而且这种对应“自然地”与所有映射相协调。

相关词 Related Words

• Natural Transformation
• Functor
• Isomorphism
• Equivalence
• Adjunction
• Natural Equivalence
• Commutative Diagram
• Category

文学与经典著作 Literary Works

• Categories for the Working Mathematician（Saunders Mac Lane）——系统讨论自然变换与自然同构，是该术语的经典来源之一。
• Category Theory（Steve Awodey）——以入门到进阶的方式使用并解释自然同构在范畴论中的作用。
• Basic Category Theory（Tom Leinster）——讲解自然变换、自然同构与“同构/等价”的概念区分。
• Sheaves in Geometry and Logic（Saunders Mac Lane & Ieke Moerdijk）——在更广泛的数学结构中频繁使用自然同构来表达“规范的”等同性。