Multiplicative Order

定义 Definition

multiplicative order（乘法阶）：在模运算中，若整数 \(a\) 与模数 \(n\) 互素（\(\gcd(a,n)=1\)），则 \(a\) 在模 \(n\) 意义下的乘法阶 是满足
\[ a^k \equiv 1 \pmod n \] 的最小正整数 \(k\)。
（在抽象代数中，它也可指群中元素的“阶”，此处重点是数论里的模乘法情形。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌmʌl.tɪ.plɪˈkeɪ.tɪv ˈɔːr.dɚ/ （美式）
/ˌmʌl.tɪ.plɪˈkeɪ.tɪv ˈɔː.də/ （英式）

例句 Examples

The multiplicative order of 2 modulo 7 is 3.
2 在模 7 下的乘法阶是 3。

If \(a\) and \(n\) are coprime, the multiplicative order of \(a\) modulo \(n\) divides \(\varphi(n)\).
如果 \(a\) 与 \(n\) 互素，那么 \(a\) 在模 \(n\) 下的乘法阶整除 \(\varphi(n)\)（欧拉函数）。

词源 Etymology

multiplicative 来自 multiply（乘、相乘），表示“与乘法有关的”；order 在数学里常指“阶/次数/序”，源自拉丁语 ordo（秩序、顺序）。合起来 multiplicative order 就是“与乘法结构相关的（元素的）阶”，在数论中具体落到“模 \(n\) 下最小的使幂等于 1 的指数”。

相关词 Related Words

• Congruence
• Modulo
• Coprime
• Euler Totient Function
• Primitive Root
• Cyclic Group
• Group Order
• Discrete Logarithm

文献与作品 Literary Works

• An Introduction to the Theory of Numbers（Hardy & Wright）：在同余与原根等章节讨论与“阶”相关的概念。
• A Classical Introduction to Modern Number Theory（Ireland & Rosen）：在乘法群 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 与元素阶的语境中使用该术语。
• Elementary Number Theory and Its Applications（Rosen）：讲解模幂、欧拉定理与元素的乘法阶。
• Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory（Tenenbaum）：在讨论乘法群结构与相关工具时会涉及“order（阶）”概念。