Monoidal Category

定义 Definition

monoidal category（幺半群范畴/张量范畴）：范畴论中的一种结构，指一个范畴配备了类似“乘法”的张量积（通常记作 ⊗）、一个单位对象（I），并满足结合律与单位律（一般以自然同构的形式给出，如结合子 associator、左右单位子 unitors），且这些同构需满足相容条件（如五边形、三角形公理）。
（更具体的变体还包括对称幺半群范畴等。）

发音 Pronunciation

/məˈnɔɪdəl ˈkætɪɡəri/

例句 Examples

A monoidal category has a tensor product and a unit object.
幺半群范畴具有张量积和单位对象。

In a monoidal category, associativity holds up to a natural isomorphism rather than strictly.
在幺半群范畴中，“结合律”通常不是严格相等成立，而是通过自然同构来成立。

词源 Etymology

monoidal 来自 monoid（幺半群/单子结构）+ 形容词后缀 -al，表示“与幺半群相关的”。在抽象代数中，monoid 指带有结合运算与单位元的结构；monoidal category 则把这种“有乘法与单位”的想法推广到范畴论里：把元素换成对象与态射，把等式换成自然同构与相容公理。

相关词 Related Words

• Associator
• Category
• Functor
• Monoid
• Natural Transformation
• Symmetric Monoidal Category
• Tensor Product
• Unit Object

文学与经典著作 Literary Works

• Categories for the Working Mathematician（Saunders Mac Lane）——系统介绍范畴论，包含幺半群范畴的核心概念与公理化表述。
• Sheaves in Geometry and Logic（Saunders Mac Lane & Ieke Moerdijk）——在更广泛的逻辑与几何语境中使用幺半群范畴等结构。
• Tensor Categories（Pavel Etingof 等）——以“张量范畴”（与幺半群范畴密切相关）为主线展开。
• Higher Topos Theory（Jacob Lurie）——在高阶范畴论与相关结构中频繁涉及（对称）幺半群结构的推广形式。