Method of Variation of Parameters

Definition｜释义

参数变易法（也称“常数变易法”）：一种用于求解非齐次线性常微分方程（以及某些线性方程组）特解的方法。思路是把齐次方程解中原本的“常数”改为随自变量变化的函数，从而构造非齐次方程的解。（在不同教材中也可能强调其等价名称与推导形式。）

Pronunciation (IPA)｜发音

/ˈmɛθəd əv ˌvɛriˈeɪʃən əv pəˈræmɪtərz/

Examples｜例句

We solved the nonhomogeneous equation using the method of variation of parameters.
我们用参数变易法求解了这个非齐次方程。

In a second-order linear ODE, the method of variation of parameters expresses a particular solution in terms of the fundamental solutions and the Wronskian.
在二阶线性常微分方程中，参数变易法会用基本解与朗斯基行列式来表示一个特解。

Etymology｜词源

该术语来自微分方程理论中的经典构造：在齐次线性方程的通解里，解通常写成若干基本解的线性组合，系数是常数；variation of parameters 字面意思是“让参数发生变化”，即把这些常数系数“变成函数”，再代回原方程求出这些函数，从而得到非齐次方程的特解。早期文献与教材中也常用 variation of constants（常数变易）来指同一思想。

Related Words｜相关词

• Variation Of Constants
• Nonhomogeneous
• Linear Differential Equation
• Particular Solution
• Homogeneous
• Fundamental Solutions
• Wronskian
• Undetermined Coefficients

In Literature｜文学与著作中的用例

• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems（Boyce & DiPrima）——常见章节专门介绍 variation of parameters/variation of constants。
• Differential Equations with Applications and Historical Notes（George F. Simmons）——以较强的历史脉络讲解该方法。
• Advanced Engineering Mathematics（Erwin Kreyszig）——工程数学语境下系统讲解并配套例题。
• An Introduction to Ordinary Differential Equations（Coddington）——更偏理论化地呈现线性理论与该构造方法。