极大理想：在环 \(R\) 中，一个真理想 \(M\neq R\) 称为极大理想，如果不存在介于 \(M\) 与 \(R\) 之间的更大的真理想；也就是说，若 \(M\subseteq I\subseteq R\)，则只能有 \(I=M\) 或 \(I=R\)。等价地，\(M\) 是极大理想当且仅当商环 \(R/M\) 是一个域。（该术语在抽象代数、交换代数中最常见；在非交换情形也可讨论，但定义细节可能更复杂。）
/ˈmæksɪməl aɪˈdiːəl/
A maximal ideal is a proper ideal that cannot be enlarged without becoming the whole ring.
极大理想是指一种真理想：一旦再扩大，就会变成整个环。
In commutative algebra, the correspondence between maximal ideals of \(R\) and field quotients \(R/M\) is fundamental for studying ring structure and algebraic geometry.
在交换代数中，环 \(R\) 的极大理想与域商 \(R/M\) 之间的对应关系是研究环结构与代数几何的基本工具。
maximal 来自拉丁语 maximus（“最大”），表示“在某种偏序意义下的最大/极大”；ideal 在代数学中由 19 世纪数学传统固定为“理想（子结构）”之意。合起来，maximal ideal 字面即“极大（在包含关系下）理想”，强调“再大就不再是适当的理想”。
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