Loewner Order

释义 Definition

Loewner order（洛伊纳序/勒夫纳序）：线性代数与矩阵分析中的一种偏序关系，常用于比较对称（或厄米）矩阵的“大小”。通常写作
\(A \preceq B\) 表示 \(B-A\) 是半正定矩阵（positive semidefinite, PSD）；
\(A \prec B\) 表示 \(B-A\) 是正定矩阵（positive definite, PD）。
（也常称 semidefinite order / PSD order。）

例句 Examples

\(A \preceq B\) in the Loewner order means \(B-A\) is positive semidefinite.
在 Loewner 序下，\(A \preceq B\) 表示 \(B-A\) 是半正定矩阵。

If \(0 \preceq A \preceq B\), then many matrix functions (under suitable conditions) preserve the Loewner order, which is useful in convex optimization and matrix inequalities.
若 \(0 \preceq A \preceq B\)，则在适当条件下许多矩阵函数会保持 Loewner 序，这在凸优化与矩阵不等式中很有用。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈlɜːvnər ˈɔːrdər/

词源 Etymology

Loewner 来自数学家 Karl Löwner（常转写为 Loewner）的姓氏；Loewner order 因其在矩阵单调性、矩阵不等式与相关理论中的贡献而得名。order 在这里指“（偏）序关系”。

相关词 Related Words

• Semidefinite
• Positive
• Definite
• Partial
• Order
• Hermitian
• Symmetric
• Matrix
• Inequality
• Monotone

文学/经典著作中的用例 Literary Works

• Karl Löwner 的相关论文与后续文献中（常以 Löwner/Loewner 命名的矩阵单调性与不等式）引出并使用该偏序概念
• Rajendra Bhatia, Matrix Analysis（矩阵分析与矩阵不等式处常用 Loewner（半正定）序）
• Roger A. Horn & Charles R. Johnson, Matrix Analysis（以 \(A \preceq B\) 讨论半正定序与谱性质）
• Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe, Convex Optimization（半正定规划/矩阵不等式中使用该序）
• Nicholas J. Higham, Functions of Matrices（讨论保持 Loewner 序的矩阵函数与单调性）