Linear Diophantine Equation

释义 Definition

线性丢番图方程：指形如 ax + by = c（或更一般的多元线性形式）的方程，其中 a、b、c（以及未知数）通常取整数，并且关注的是未知数的整数解。常见结论：当且仅当 gcd(a, b) | c（最大公因数能整除 c）时，方程存在整数解。
（注：也可扩展到三个及以上未知数的线性丢番图方程。）

发音 Pronunciation

/ˈlɪniər ˌdaɪəˈfɑːntiːn ɪˈkweɪʒən/

例句 Examples

A linear Diophantine equation like 3x + 5y = 1 can have integer solutions.
像 3x + 5y = 1 这样的线性丢番图方程可能有整数解。

To solve the linear Diophantine equation 84x + 33y = 3, we first check whether gcd(84, 33) divides 3.
要解线性丢番图方程 84x + 33y = 3，我们先检查 gcd(84, 33) 是否整除 3。

词源 Etymology

Diophantine（丢番图的）来自古希腊数学家 Diophantus（丢番图）的名字，他的著作研究了大量关于整数组合与方程整数解的问题；因此“丢番图方程”泛指以整数解为目标的方程。Linear（线性）说明方程中未知数的次数为 1（不出现平方、乘积项等非线性结构）。

相关词 Related Words

• Diophantine
• Equation
• Integer
• Greatest Common Divisor
• Bezout's Identity
• Extended Euclidean Algorithm
• Number Theory
• Congruence

文学与典籍 Literary Works

• **An Introduction to the Theory of Numbers**（G. H. Hardy & E. M. Wright）：在初等数论章节中系统讨论线性丢番图方程与整除条件。
• **Elementary Number Theory**（David M. Burton）：以教学风格讲解 gcd、贝祖等式与线性丢番图方程的解法。
• **A Classical Introduction to Modern Number Theory**（Ireland & Rosen）：在更广的数论框架下提及丢番图问题与相关方法。