Levi-Civita Symbol

释义 Definition

Levi-Civita symbol（列维-奇维塔符号）：一种带有完全反对称性的多指标符号，常记作 \( \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \)。在 \(n\) 维中，它用于表示置换的奇偶性：当 \((i_1,\dots,i_n)\) 是 \((1,\dots,n)\) 的偶置换时取 \(+1\)，奇置换时取 \(-1\)，若有重复指标则取 \(0\)。在三维里常用于叉乘、行列式、旋度等表达式。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌlɛvi ˈtʃiːviˌtɑː ˈsɪmbəl/

例句 Examples

The Levi-Civita symbol is zero when any two indices are equal.
当任意两个指标相等时，列维-奇维塔符号为零。

Using the Levi-Civita symbol, we can write the cross product compactly as \((\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i=\varepsilon_{ijk}a_j b_k\), which also makes its antisymmetry explicit.
利用列维-奇维塔符号，我们可以把叉乘简洁地写成 \((\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i=\varepsilon_{ijk}a_j b_k\)，同时清楚体现其反对称性。

词源 Etymology

该名称来自意大利数学家 Tullio Levi-Civita（图利奥·列维-奇维塔）。这一符号在张量分析与微分几何、经典力学与电磁学等领域中非常常见，用于以统一而紧凑的方式处理反对称对象与定向体积（如行列式结构）。

相关词 Related Words

• Antisymmetric
• Permutation
• Determinant
• Kronecker
• Tensor
• Cross Product
• Curl
• Einstein Summation

文学与经典著作 Literary & Notable Works

• Gravitation（Misner, Thorne, Wheeler）——在广义相对论的张量与体积形式（volume form）讨论中使用该符号/相关对象。
• Classical Electrodynamics（J. D. Jackson）——在电磁学的矢量与张量表达（如旋度、叉乘恒等式）中常见。
• Mathematical Methods for Physicists（Arfken, Weber, Harris）——在向量分析、张量与坐标变换章节中系统使用。
• Tensor Analysis on Manifolds（Bishop & Goldberg）——在流形上的张量运算、定向与体积元素相关内容中出现。