Lebesgue Space

定义 Definition

Lebesgue space（勒贝格空间）通常指以勒贝格测度为基础建立的函数空间，最常见的是 \(L^p\) 空间：由在某个区域上“按 \(p\) 次幂可积”的可测函数（按几乎处处相等视为同一函数）组成，并配以范数
\[ \|f\|_p=\left(\int |f(x)|^p\,dx\right)^{1/p}\quad (1\le p<\infty), \] 以及 \(\|f\|_\infty=\text{ess sup }|f|\)。它是现代实分析、偏微分方程与泛函分析中的基础工具。（更广义时也可指带一般测度的 \(L^p(\Omega,\mu)\) 空间。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ləˈbɛɡ speɪs/

例句 Examples

A Lebesgue space like \(L^2\) is useful for studying signals and Fourier series.
像 \(L^2\) 这样的勒贝格空间对研究信号与傅里叶级数很有用。

In many PDE problems, we first show the solution lies in a Lebesgue space \(L^p(\Omega)\), then improve its regularity using additional estimates.
在许多偏微分方程问题中，我们先证明解属于勒贝格空间 \(L^p(\Omega)\)，再利用额外估计提升其正则性。

词源 Etymology

Lebesgue 来自法国数学家 Henri Lebesgue（亨利·勒贝格） 的姓氏。他在 20 世纪初系统发展了勒贝格测度与勒贝格积分，从而自然产生了以“可积性”为核心的 \(L^p\) 函数空间；space 表示“空间/集合结构”，强调这些函数在范数与极限意义下可进行分析。

相关词 Related Words

• Measure
• Lebesgue Measure
• Integral
• Measurable Function
• Lp Space
• Norm
• Banach Space
• Hilbert Space
• Almost Everywhere
• Sigma-algebra

文学与经典著作 Literary Works

• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）中频繁使用 \(L^p\)（勒贝格）空间讨论积分与收敛。
• Measure Theory（Paul R. Halmos）系统介绍测度与 \(L^p\) 空间框架。
• Functional Analysis（Walter Rudin）以勒贝格空间为例讲解巴拿赫空间、对偶空间等概念。
• Fourier Analysis: An Introduction（Stein & Shakarchi）用 \(L^p\) 语言表达傅里叶分析中的核心结论。