Lagrange Multiplier Test

释义 Definition

拉格朗日乘子检验/方法：一种在有约束条件（通常是等式约束）下，判断函数在某点是否可能取得极大值或极小值的工具。核心思想是：在最优点处，目标函数的梯度与约束函数的梯度呈比例关系（引入“乘子”来表达这种比例）。常用于微积分、最优化与经济学中的约束最值问题。（在更一般情形下还会扩展到 KKT 条件等。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ləˈɡrɑːnʒ ˈmʌltɪˌplaɪər tɛst/

词源 Etymology

Lagrange 来自法国数学家 Joseph-Louis Lagrange（约瑟夫-路易·拉格朗日）的姓氏；multiplier 意为“乘子”；test 在数学语境中常指“判别/检验方法”。该术语用于指代用“乘子”处理约束最值的一套判别思路。

例句 Examples

We used the Lagrange multiplier test to find the maximum under a constraint.
我们用拉格朗日乘子检验来求一个约束条件下的最大值。

To identify candidate optima, apply the Lagrange multiplier test by setting the gradient of the objective equal to a scalar multiple of the constraint’s gradient, then check which solutions satisfy the constraint.
为找出可能的最优点，可以用拉格朗日乘子检验：令目标函数的梯度等于约束函数梯度的某个标量倍数，再筛选出满足约束的解。

相关词 Related Words

• Constraint
• Optimization
• Gradient
• Critical Point
• Lagrangian
• KKT Conditions
• Hessian

文学与经典著作 Literary Works

• Calculus: Early Transcendentals（James Stewart）——在多元微积分的“约束极值”章节中使用拉格朗日乘子方法。
• Mathematical Methods for Physics and Engineering（Riley, Hobson & Bence）——在变分法与约束优化相关内容中出现该方法。
• Microeconomic Theory（Mas-Colell, Whinston & Green）——在消费者/厂商的约束最优化推导中大量使用拉格朗日乘子框架。