Kronecker Product

定义 Definition

Kronecker product（克罗内克积）是线性代数中的一种矩阵运算：若 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵、\(B\) 是 \(p\times q\) 矩阵，则 \(A\otimes B\) 是一个 \(mp\times nq\) 的分块矩阵，把 \(A\) 的每个元素 \(a_{ij}\) 都替换为子块 \(a_{ij}B\)。常用于张量表示、向量化（vectorization）、信号处理与量子计算等。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkrɒnɛkər ˈprɒdʌkt/
（美式常见：/ˈkrɑːnɛkər ˈprɑːdʌkt/）

例句 Examples

The Kronecker product of two matrices builds a larger block matrix.
两个矩阵的克罗内克积会构造出一个更大的分块矩阵。

Using the Kronecker product, we can rewrite the system as \((I \otimes A)\, \mathrm{vec}(X) = \mathrm{vec}(B)\), which simplifies computation.
利用克罗内克积，我们可以把系统改写为 \((I \otimes A)\,\mathrm{vec}(X)=\mathrm{vec}(B)\)，从而简化计算。

词源 Etymology

“Kronecker”来自德国数学家Leopold Kronecker（利奥波德·克罗内克）的姓氏；“product”意为“乘积/积”。该术语用来指代这种与张量构造密切相关的矩阵乘积形式（符号常写作 \(\otimes\)）。在不同语境下也可能与“tensor product（张量积）”并列出现，但二者在抽象层次与对象上不完全等同。

相关词 Related Words

• Tensor
• Tensor Product
• Outer Product
• Matrix
• Vectorization
• Block Matrix
• Hadamard Product
• Identity Matrix

文献与作品 Literary Works

• Roger A. Horn & Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis（矩阵分析专题；多处讨论 \(\otimes\) 与相关恒等式）
• Gene H. Golub & Charles F. Van Loan, Matrix Computations（矩阵计算；涉及 Kronecker product 与 vec 运算的公式）
• Kjell Petersen & Michael S. Pedersen, The Matrix Cookbook（“矩阵食谱”；收录常用的 Kronecker product/vec 恒等式）
• Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra（线性代数入门；在应用与扩展材料中常提到张量/相关积的思想）