Internal Direct Sum

释义 Definition

内部直和：在代数中，指一个群/环/模/向量空间 \(M\) 的若干子对象（如子群、子模、子空间）\(A_1, A_2, \dots, A_n\) 满足：

1. 它们生成整个 \(M\)：\(M = A_1 + A_2 + \cdots + A_n\)；
2. 交得“尽量小”：每个元素在这些子对象中的表示是唯一的（等价地，\(A_i \cap (A_1+\cdots + A_{i-1}+A_{i+1}+\cdots + A_n)=\{0\}\)）。
   常写作 \(M = A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots \oplus A_n\)。
   （注：该术语也可推广到无限个子对象的情形。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ɪnˈtɝːnəl dəˈrɛkt sʌm/

例句 Examples

If \(V = U \oplus W\), then \(V\) is an internal direct sum of \(U\) and \(W\).
如果 \(V = U \oplus W\)，那么 \(V\) 是 \(U\) 与 \(W\) 的内部直和。

The theorem states that a module decomposes as an internal direct sum of submodules precisely when the corresponding projections exist and are compatible.
该定理说明：当且仅当存在并且相互相容的投影映射时，一个模才能分解为若干子模的内部直和。

词源 Etymology

“internal”表示这些子对象就在同一个整体结构内部（而不是先构造外部的直积/直和再映射进去）；“direct sum”来自线性代数与抽象代数中“直和”的概念，强调“相加得到整体且分解唯一”。整体术语用于区分“内部直和（internal）”与“外部直和（external direct sum）”。

相关词 Related Words

• Direct Sum
• External Direct Sum
• Direct Product
• Submodule
• Subspace
• Decomposition
• Projection
• Complement

文学与经典教材中的用例 Literary Works

• Dummit & Foote, Abstract Algebra（抽象代数中分解、直和与半直积的章节常用到“internal direct sum”。）
• Serge Lang, Algebra（模与群的分解讨论中频繁出现直和与内部直和表述。）
• Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups（群的结构分解与直和相关内容。）
• Thomas W. Hungerford, Algebra（关于模分解与投影的叙述中使用该术语。）