希尔伯特基定理：在交换代数中，一个核心结论是：如果 \(R\) 是诺特环（Noetherian ring），那么多项式环 \(R[x]\) 也是诺特环。等价地说：在域 \(k\) 上，多项式环 \(k[x_1,\dots,x_n]\) 的每个理想都可以由有限个多项式生成（即“有有限基”）。该定理是代数几何与理想理论的基础工具之一。（在更广义表述下也适用于多个变量的情形。）
/ˈhɪlbərt ˈbeɪsɪs ˈθiːərəm/
The Hilbert basis theorem shows that every ideal in \(k[x_1,\dots,x_n]\) is finitely generated.
希尔伯特基定理表明，\(k[x_1,\dots,x_n]\) 中的每个理想都可以由有限个元素生成。
Using the Hilbert basis theorem, one proves that ascending chains of ideals in \(R[x]\) stabilize whenever \(R\) is Noetherian, which is crucial for many finiteness arguments in algebraic geometry.
利用希尔伯特基定理，可以证明：只要 \(R\) 是诺特环，\(R[x]\) 中理想的升链就会稳定（不会无限严格增长），这对代数几何中的许多“有限性”论证至关重要。
该定理以德国数学家 David Hilbert（大卫·希尔伯特） 命名；“basis（基）”在这里指“生成理想的有限生成集/有限基”。它出现在希尔伯特关于不变量理论与多项式理想的研究脉络中，后来成为诺特性与有限生成思想的经典代表性结果。
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