Graded Ring

释义 Definition

分次环／分级环：一种带有“按次数分层”结构的环。它可以写成直和分解
\[ R=\bigoplus_{n\ge 0} R_n \] 并满足乘法与分次相容：若 \(a\in R_m\)、\(b\in R_n\)，则 \(ab\in R_{m+n}\)。其中 \(R_n\) 的元素常称为齐次（homogeneous）元素；\(n\) 称为其次数（degree）。
（在数学语境中最常见；在某些书里也会讨论允许负次数的 \(\mathbb{Z}\)-graded ring。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɡreɪdɪd rɪŋ/

例句 Examples

A polynomial ring \(k[x,y]\) is a graded ring by total degree.
多项式环 \(k[x,y]\) 可以按总次数分次，因此是一个分次环。

In algebraic geometry, the homogeneous coordinate ring of a projective variety is a graded ring, and its grading encodes geometric information.
在代数几何中，射影簇的齐次坐标环是分次环，其分次结构会编码重要的几何信息。

词源 Etymology

graded 来自 grade（等级、层次），表示“分层/分级的”；ring 是抽象代数中的“环”。合起来表示“带分级结构的环”，强调元素被按“次数/度”分到不同层，并且乘法会把次数相加。

相关词 Related Words

• Algebra
• Degree
• Graded Module
• Grading
• Hilbert Function
• Homogeneous
• Ideal
• Noetherian
• Polynomial Ring
• Ring

文献与作品 Literary Works

• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald）——在讨论分次对象与相关构造时频繁出现 graded ring。
• Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（Eisenbud）——用分次环系统地连接交换代数与代数几何。
• Algebraic Geometry（Hartshorne）——射影几何部分大量使用齐次坐标环（典型的分次环）。
• Commutative Ring Theory（Matsumura）——在交换环论框架下涉及分次环及其性质。