Gaussian Curvature

Definition 定义

高斯曲率：微分几何中描述曲面在某一点“弯曲程度”的量，等于该点两条互相垂直的主曲率 \(k_1\) 与 \(k_2\) 的乘积：\(K = k_1 k_2\)。一般而言，\(K>0\) 表示像球面那样向同一方向弯，\(K<0\) 表示像马鞍面那样一正一负地弯，\(K=0\) 常见于平面或圆柱面这类“可展开”表面。

Pronunciation 发音（IPA）

/ˈɡaʊsiən ˈkɝːvətʃər/

Examples 例句

A sphere has positive Gaussian curvature.
球面具有正的高斯曲率。

By Gauss’s Theorema Egregium, Gaussian curvature depends only on the intrinsic metric of a surface.
根据高斯的“卓越定理”，高斯曲率只取决于曲面的内在度量（与嵌入方式无关）。

Etymology 词源

Gaussian 来自德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）的姓氏，表示“与高斯有关的”。curvature 源自拉丁语 curvus（弯曲的），经由中世纪拉丁语 curvatura（弯曲、曲率）进入英语。该术语与高斯在曲面几何中的奠基性工作密切相关。

Related Words 相关词汇

• Curvature
• Gaussian
• Mean Curvature
• Principal Curvature
• Differential Geometry
• Surface
• Manifold
• Theorema Egregium

Literary Works 文献与作品中的出现

• Gauss, **Disquisitiones generales circa superficies curvas**（1827）：高斯在曲面理论中的经典论文，相关讨论中使用并奠定了高斯曲率的核心思想。
• Manfredo P. do Carmo, **Differential Geometry of Curves and Surfaces**：教材中系统介绍高斯曲率及其几何意义。
• Michael Spivak, **A Comprehensive Introduction to Differential Geometry**：更深入的微分几何著作，频繁讨论 Gaussian curvature 的性质与应用。
• Andrew Pressley, **Elementary Differential Geometry**：入门教材中以直观方式讲解高斯曲率与曲面分类。