Fixed-Point Iteration

释义 Definition

不动点迭代：一种数值计算方法，把方程改写为 \(x=g(x)\) 的形式，然后从初值 \(x_0\) 出发反复计算 \(x_{n+1}=g(x_n)\)，在一定条件下序列会收敛到满足 \(x=g(x)\) 的解（即“不动点”）。常用于求解非线性方程、方程组与某些迭代算法的收敛分析。（在不同语境下也可泛指“迭代求不动点”的过程。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌfɪkst ˈpɔɪnt ˌɪtəˈreɪʃən/

例句 Examples

Fixed-point iteration can solve some equations without derivatives.
不动点迭代可以在不使用导数的情况下求解某些方程。

Starting from an initial guess, we rewrite \(f(x)=0\) as \(x=g(x)\) and apply fixed-point iteration; if \(|g'(x)|<1\) near the solution, the sequence often converges.
从一个初始猜测出发，我们把 \(f(x)=0\) 改写为 \(x=g(x)\) 并进行不动点迭代；如果在解附近满足 \(|g'(x)|<1\)，该序列通常会收敛。

词源 Etymology

“fixed point”源自数学中不动点的概念：对映射 \(g\) 来说，若存在 \(x\) 使得 \(g(x)=x\)，则称 \(x\) 为不动点；“iteration”表示反复迭代计算。合起来，“fixed-point iteration”就是通过重复应用映射 \(g\) 来逼近不动点的方法。在数值分析中，它也常被视作更一般迭代法（如牛顿法等）的基础框架之一。

相关词 Related Words

• Convergence
• Iteration
• Fixed Point
• Nonlinear Equation
• Newton's Method
• Banach Fixed-Point Theorem
• Contraction Mapping
• Root-Finding

文学与著作中的用例 Literary Works

• Numerical Analysis（Richard L. Burden & J. Douglas Faires）——在非线性方程求根章节系统介绍不动点迭代与收敛条件。
• An Introduction to Numerical Analysis（Kendall E. Atkinson）——讨论固定点迭代、压缩映射与误差分析。
• Numerical Recipes（Press, Teukolsky, Vetterling & Flannery）——在数值求解与迭代思想相关章节中提及固定点类迭代框架与实现要点。