First-Order Approximation

释义 Definition（中文）

一阶近似 / 一阶逼近：用函数在某一点附近的线性项（一次项）来近似原函数的值，常见形式是用切线（或线性化）来估算小变化下的函数变化。
（在不同语境中也可指“一阶展开”“线性近似”等。）

发音 Pronunciation（IPA）

/ˌfɝːst ˈɔːrdər əˌprɑːksɪˈmeɪʃən/

例句 Examples

For small angles, \(\sin x\) has the first-order approximation \(\sin x \approx x\).
对于小角度，\(\sin x\) 的一阶近似是 \(\sin x \approx x\)。

Using a first-order approximation around \(x=2\), we can estimate the function’s value without calculating it exactly.
在 \(x=2\) 附近使用一阶近似，我们可以不做精确计算就估算函数值。

词源 Etymology（中文）

first-order 来自数学与物理中的“阶”（order）概念，表示展开式或微分方程中“最高保留到第几阶项”。approximation 源自拉丁语 approximare（“靠近、接近”）。合起来表示“保留到一次项的近似”，即最常见的线性化近似。

相关词 Related Words

• Linear
• Approximation
• Linearization
• Tangent
• Derivative
• Taylor
• Expansion
• Perturbation

文学与著作 Literary Works（出现语境示例）

• Calculus（James Stewart）——在“线性近似 / Linear Approximation”与泰勒展开的入门章节中常用该术语。
• Advanced Engineering Mathematics（Erwin Kreyszig）——在近似方法、泰勒公式与工程估算相关章节中出现频繁。
• Numerical Recipes（Press et al.）——在数值分析中讨论误差与局部近似（含一阶近似思路）时常见。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在函数的局部性质、可微与近似的论述中可见相关表述与用法。