First Fundamental Form

释义 Definition

第一基本形式：微分几何中用来描述曲面“内在度量”的二次型（或度量张量）。它把曲面上的无穷小位移映射为长度与夹角信息，从而可用于计算弧长、角度、面积等。常写作
\(I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2\)，其中 \(E,F,G\) 由参数化曲面的切向量点积给出。
（该术语在更高维情形也可指诱导度量。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌfɝːst ˌfʌndəˈmɛntəl fɔːrm/

例句 Examples

The first fundamental form tells us how to measure distances on a surface.
第一基本形式告诉我们如何在曲面上测量距离。

Given a parametrized surface, we compute \(E, F, G\) from dot products of tangent vectors, and the first fundamental form then determines arc length and area locally.
给定一个参数化曲面，我们通过切向量的点积计算 \(E, F, G\)，而第一基本形式据此在局部决定弧长与面积。

词源 Etymology

“fundamental form（基本形式）”在经典曲面论中指用来刻画曲面几何性质的若干“形式”（二次型）。其中“first（第一）”强调它是最基础、最直接与度量（metric）相关的那个形式；与之相对的“second fundamental form（第二基本形式）”更多关联曲面的弯曲（外在几何）。

相关词 Related Words

• Metric
• Induced
• Quadratic
• Bilinear
• Tangent
• Parametrization
• Arc
• Curvature
• Second Fundamental Form

文学与著作 Literary Works

• Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces（曲线与曲面微分几何）：以“first fundamental form”系统引入曲面度量与基本计算。
• Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry：在曲面与黎曼几何的框架下频繁使用该术语。
• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds / Riemannian Manifolds：在“诱导度量”与局部表达中与第一基本形式对应。
• 经典曲面论文与理论背景常追溯到 Gauss（高斯）的曲面论传统（第一基本形式与内蕴几何密切相关）。