Finite Subcover

释义 Definition

有限子覆盖：在拓扑学中，给定一个集合 \(X\) 的一个开覆盖（一族开集，其并集包含 \(X\)），如果能从中选出有限多个开集，它们的并集仍然覆盖 \(X\)，则这组被选出的有限开集称为该覆盖的有限子覆盖。
（该概念常用于刻画紧致性：一个空间紧致，当且仅当它的每个开覆盖都存在有限子覆盖。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈfaɪnaɪt ˈsʌbˌkʌvər/

例句 Examples

Every open cover of a compact set has a finite subcover.
紧致集的每个开覆盖都存在一个有限子覆盖。

Although the family of open intervals \(\{( -1/n,\, 1/n ) : n\in\mathbb{N}\}\) covers \((-1,1)\), it does not admit a finite subcover, showing \((-1,1)\) is not compact in \(\mathbb{R}\).
尽管开区间族 \(\{(-1/n,\,1/n): n\in\mathbb{N}\}\) 覆盖了 \((-1,1)\)，但它不存在有限子覆盖，这表明在 \(\mathbb{R}\) 中 \((-1,1)\) 不是紧的。

词源 Etymology

finite 源自拉丁语 finis（界限、终点），引申为“有界限的、有限的”；sub- 是前缀，表示“下、次级、部分”；cover 来自中古英语，意为“覆盖”。合起来 subcover 表示“覆盖中的一个子族”，finite subcover 即“由有限个集合组成的子覆盖”。

相关词 Related Words

• Compactness
• Compact
• Open Cover
• Cover
• Subcover
• Heine-Borel Theorem
• Finite
• Topology

文学与著作中的用例 Literary Works

• James R. Munkres, Topology：在紧致性章节用“每个开覆盖存在有限子覆盖”作为核心定义与例题框架。
• John L. Kelley, General Topology：系统讨论覆盖、子覆盖与紧致性时频繁使用 finite subcover。
• Nicolas Bourbaki, General Topology：以公理化方式表述紧致性的覆盖刻画，包含 finite subcover 的标准表述。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis：在与 Heine–Borel 定理相关的紧致性论证中使用“有限子覆盖”的思想与措辞。