Field Extension

定义 Definition

（数学/抽象代数）域扩张：指一个域 \(K\) 包含另一个域 \(F\)（记作 \(K/F\) 或 \(K \supseteq F\)），并在 \(F\) 的运算规则下把新的元素加入，从而形成更大的域。常用于研究代数方程的可解性、根的结构等。（也有少见的非数学含义，但最常见为此义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/fiːld ɪkˈstenʃən/

例句 Examples

A simple field extension is obtained by adjoining \(i\) to \(\mathbb{R}\).
一个简单的域扩张可以通过把 \(i\) 加入 \(\mathbb{R}\) 得到。

In Galois theory, the structure of a field extension can reveal whether a polynomial is solvable by radicals.
在伽罗瓦理论中，域扩张的结构可以揭示一个多项式是否能用根式求解。

词源 Etymology

field 在数学中指“域”（一套数系，满足加减乘除等良好性质）；extension 表示“扩张/扩展”。合起来 field extension 字面意思就是“把一个域扩展到更大的域”，这一术语在 19 世纪代数学体系逐步成熟、伽罗瓦理论与近代抽象代数发展过程中被广泛固定下来。

相关词 Related Words

• Algebra
• Algebraic
• Degree
• Extension
• Field
• Galois
• Normal
• Polynomial
• Splitting
• Subfield

文学/著作中的用例 Literary Works

• Abstract Algebra（Dummit & Foote）——在“Field Extensions”章节系统讲解域扩张、次数、可分性等概念。
• Algebra（Serge Lang）——以更抽象的方式讨论域、扩张与代数闭包等主题。
• Algebra（Michael Artin）——以线性代数与群作用视角穿插域扩张与伽罗瓦理论的基本内容。
• Galois Theory（Ian Stewart）——面向学习者介绍多项式、域扩张与可解性之间的关系。