Falling Factorial

释义 Definition

下降阶乘 / 递降阶乘：一种把因子按“逐步减 1”相乘的乘积。常见定义为
\[ (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) \] 也常写作 \(x^{\underline{n}}\)。它在组合数学、离散差分（有限微积分）、计数与多项式展开中很常用。（另有相对概念 rising factorial“上升阶乘”。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈfɔːlɪŋ fækˈtɔːriəl/

例句 Examples

The falling factorial \((x)_3\) equals \(x(x-1)(x-2)\).
下降阶乘 \((x)_3\) 等于 \(x(x-1)(x-2)\)。

In combinatorics, falling factorials often simplify formulas for permutations and finite differences.
在组合数学中，下降阶乘常用于简化排列与有限差分相关的公式。

词源 Etymology

falling（“下降的”）指的是每一项因子都在“往下走”：从 \(x\) 开始，依次变为 \(x-1, x-2,\dots\)。factorial（“阶乘”）源于拉丁语 factor（“做、制造；因子”相关），在数学里表示连续相乘的结构；“falling factorial”就是“按递减因子形成的阶乘式乘积”。

相关词 Related Words

• Factorial
• Rising Factorial
• Pochhammer Symbol
• Permutation
• Binomial Coefficient
• Stirling Numbers
• Finite Difference
• Gamma Function

文学与名著用例 Literary Works

• Concrete Mathematics（Graham, Knuth, Patashnik）中在离散数学与求和公式里频繁使用下降阶乘表示法。
• Enumerative Combinatorics（Richard P. Stanley）在计数问题与生成函数/多项式基底转换中涉及下降阶乘。
• generatingfunctionology（Herbert S. Wilf）讨论计数与生成函数时常与下降阶乘、斯特林数等概念并用。
• The Art of Computer Programming（Donald E. Knuth）相关章节会在组合恒等式与离散分析语境中出现该术语或等价记法。