Existence and Uniqueness Theorem

释义 Definition（中文）

存在与唯一性定理：在数学（尤其是微分方程）中，指一类保证“解存在且在一定条件下唯一”的定理。最常见的语境是常微分方程初值问题（IVP），例如在满足连续性与（局部）Lipschitz 条件等假设时，可证明解在某个区间内存在并且只有一个。

发音 Pronunciation（IPA）

/ɪɡˈzɪstəns ən juːˈniːknəs ˈθiːərəm/

例句 Examples

An existence and uniqueness theorem guarantees a solution near the initial point.
存在与唯一性定理保证在初始点附近有解。

Under a Lipschitz condition on the function \(f\), the existence and uniqueness theorem ensures the initial value problem has exactly one local solution.
在函数 \(f\) 满足 Lipschitz 条件时，存在与唯一性定理保证该初值问题在局部范围内恰好有一个解。

词源与构词 Etymology（中文）

这是一个由三个常见学术词汇组合而成的术语：

• existence（存在）强调“至少有一个解”；
• uniqueness（唯一性）强调“不会有两个不同的解同时满足条件”；
• theorem（定理）指经过严格证明的数学命题。
  在微分方程领域，它常与 Picard–Lindelöf 定理（也常被直接称为“存在与唯一性定理”）相关联。

相关词 Related Words

• Existence
• Uniqueness
• Theorem
• Initial Value Problem
• Lipschitz Condition
• Picard–Lindelöf Theorem
• Well-Posedness
• Differential Equation

文学与著作中的用例 Notable Works（中文）

• Ordinary Differential Equations（Philip Hartman）中讨论初值问题时会使用/引出存在与唯一性结论。
• Theory of Ordinary Differential Equations（E. A. Coddington & N. Levinson）系统呈现与证明相关的存在与唯一性定理。
• Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra（Morris W. Hirsch & Stephen Smale）在动力系统入门部分使用存在与唯一性来保证解流的良定义。
• A First Course in Differential Equations（Dennis G. Zill）等教材通常以“Existence and Uniqueness Theorem”作为核心小节标题讲解。