第二类椭圆积分：一种特殊函数，常记为 \(E(\phi, k)\)（不完全型）或 \(E(k)\)（完全型）。它在数学与物理中用于描述涉及“椭圆”几何或周期性系统的量，例如椭圆弧长、摆的近似运动、弹性与电磁问题中的某些积分表达式。常见形式为
\[
E(\phi,k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\,d\theta,\quad
E(k)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\,d\theta.
\]
（除上述常见定义外，在不同学科/记号体系中也可能有等价写法。）
/ɪˈlɪptɪk ˈɪntɪɡrəl əv ðə ˈsɛkənd kaɪnd/
The elliptic integral of the second kind appears when computing the arc length of an ellipse.
第二类椭圆积分在计算椭圆的弧长时会出现。
In analytical mechanics, energy expressions for certain oscillatory systems can be reduced to forms involving the elliptic integral of the second kind.
在解析力学中，某些振荡系统的能量表达式可以化简为包含第二类椭圆积分的形式。
“Elliptic integral（椭圆积分）”这一名称源于早期数学家在研究椭圆弧长等问题时，发现会遇到无法用初等函数表示的积分，从而形成一类“椭圆相关”的特殊积分。后来在系统化研究中（如勒让德 Legendre 的分类），根据积分被积式的不同结构，发展出第一类、第二类、第三类等分类；“second kind（第二类）”即指其中一类标准形式，常与 \(\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\) 这类根式因子相关。
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