De Rham Theorem

Definition / 定义

德拉姆定理：微分几何与代数拓扑中的一个核心定理，说明在光滑流形上，闭微分形式按“相差一个恰当形式”分成的等价类（即德拉姆上同调）与该流形的奇异上同调（取实系数）同构。直观地说，它把“用微积分描述的几何量”与“用拓扑描述的洞与连通结构”精确对应起来。（在更完整的表述中，还涉及积分配对与斯托克斯定理。）

Pronunciation / 发音

/də ˈrɑːm ˈθiːərəm/

Examples / 例句

De Rham theorem connects differential forms with topology.
德拉姆定理把微分形式与拓扑联系起来。

Using De Rham theorem, we can compute the real cohomology of a smooth manifold via closed forms modulo exact forms.
借助德拉姆定理，我们可以用“闭形式对恰当形式取模”的方法来计算光滑流形的实系数上同调。

Etymology / 词源

“De Rham”来自瑞士数学家 Georges de Rham（乔治·德拉姆）的姓氏；该定理以他命名，用来概括他在20世纪上半叶关于“微分形式与上同调之间关系”的重要成果。“theorem”源自希腊语 theōrēma（意为“被观察到的结论/定理”）。

Related Words / 相关词

• Cohomology
• Homology
• Differential Form
• Closed Form
• Exact Form
• Stokes' Theorem
• Manifold
• Singular Cohomology
• Hodge Theory

Literary Works / 文学作品与出处

• Georges de Rham, Differentiable Manifolds: Forms, Currents, Harmonic Forms（德拉姆本人著作中系统呈现相关思想）
• Raoul Bott & Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology（以微分形式讲解代数拓扑，常用德拉姆定理作主线）
• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds（光滑流形教材中通常包含德拉姆上同调与定理）
• Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups（微分流形与李群教材中讨论该定理及其应用）
• Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry（多卷本中在微分形式与拓扑部分引用该定理）