Cyclotomic Polynomial

释义 Definition

圆分多项式：在数论与代数学中，\(\Phi_n(x)\) 表示第 \(n\) 个圆分多项式，它是一个整系数不可约多项式，其根恰好是所有本原 \(n\) 次单位根（primitive \(n\)th roots of unity）。常见性质之一是： \[ x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x). \] （该术语也常出现在“圆分域”与“单位根”相关理论中。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌsaɪkloʊˈtɑːmɪk pəˈlɪnəmiəl/

例句 Examples

The cyclotomic polynomial \(\Phi_5(x)\) has degree 4.
圆分多项式 \(\Phi_5(x)\) 的次数是 4。

Using the factorization \(x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)\), we can derive properties of primitive roots of unity and prove irreducibility results over \(\mathbb{Q}\).
利用分解式 \(x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)\)，我们可以推导本原单位根的性质，并证明其在 \(\mathbb{Q}\) 上的不可约性等结论。

词源 Etymology

cyclotomic 来自希腊语词根 cyclo-（“圆、环”）与 -tomic（与“切分、分割”相关，源自 tomos “切割/部分”），最早与“圆分（cyclotomy）”的思想相关；在数论中指把圆周上的单位根按阶进行“分组/切分”。polynomial 来自 **poly-**（“多”）+（与“项/名称”相关的构词成分），整体表示“多项式”。合在一起即“与单位根分解密切相关的一类多项式”。

相关词 Related Words

• Algebraic
• Irreducible
• Factorization
• Root
• Unity
• Primitive
• Field
• Number

文学与名著用例 Literary Works

• Carl Friedrich Gauss，《Disquisitiones Arithmeticae》：涉及圆分（cyclotomy）与单位根分解的思想背景，是圆分理论的重要源头之一。
• G. H. Hardy & E. M. Wright，《An Introduction to the Theory of Numbers》：在初等与代数数论章节中讨论单位根与相关多项式分解。
• Kenneth Ireland & Michael Rosen，《A Classical Introduction to Modern Number Theory》：讲解圆分多项式、圆分域与相关数论结构。
• Lawrence C. Washington，《Introduction to Cyclotomic Fields》：系统使用并研究圆分多项式与圆分域，是该主题的经典教材。