Convergence in Mean

释义 Definition

convergence in mean（均值收敛）：在概率论/统计中，指一列随机变量 \(X_n\) 在“平均意义”下趋近于随机变量 \(X\)。最常见的是 \(L^1\) 收敛：
\[ \mathbb{E}\big[|X_n - X|\big] \to 0 \quad (n\to\infty). \] 也常见更一般的 \(L^p\)（\(p\ge 1\)）均值收敛：\(\mathbb{E}[|X_n-X|^p]\to 0\)。
（注意：不同于“几乎处处收敛”“依概率收敛”等，强弱关系不完全相同。）

发音 Pronunciation (IPA)

/kənˈvɝːdʒəns ɪn miːn/

例句 Examples

Convergence in mean means the average error goes to zero.
均值收敛表示“平均误差”趋于零。

If \(X_n\) converges in mean to \(X\), then by Markov’s inequality \(X_n\) also converges in probability to \(X\).
如果 \(X_n\) 在均值意义下收敛到 \(X\)，那么由马尔可夫不等式可推出 \(X_n\) 也依概率收敛到 \(X\)。

词源 Etymology

convergence 来自拉丁语 convergere，由 *con-*（一起）+ vergere（转向）构成，表示“汇聚、趋向同一点”。在数学里引申为“序列/函数逐渐接近某个极限”。
mean 源自古英语 gemǣne（共同的、平均的相关概念），在概率论中进一步专指“期望/平均值”的意义，因此 convergence in mean 直译就是“在平均（期望）意义下的收敛”。

相关词 Related Words

• Almost Sure Convergence
• Convergence In Probability
• L1 Convergence
• Lp Convergence
• Mean Square Convergence
• Expected Value
• Markov Inequality
• Uniform Integrability

文学与著作中的用例 Literary Works

• Probability: Theory and Examples（Rick Durrett）——在讨论 \(L^p\) 收敛、依概率收敛等关系时常出现“convergence in mean”。
• Convergence of Probability Measures（Patrick Billingsley）——在测度收敛框架下涉及多种收敛概念与比较。
• Foundations of Modern Probability（Olav Kallenberg）——系统讨论随机变量的各种收敛模式（含均值收敛/ \(L^p\) 收敛）。