Cohomology Group

释义 Definition

上同调群（cohomology group）：代数拓扑与同调代数中的核心概念，用来把一个拓扑空间（或更一般的对象，如链复形、流形、群等）的结构信息编码成一族阿贝尔群（或模）。它与“同调群”相对，通常记作 \(H^n(X;G)\)，其中 \(n\) 是维数（次数），\(X\) 是空间，\(G\) 是系数群；上同调群还能自然带有环结构（杯积 cup product），便于进行更细致的不变量计算与比较。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌkoʊhəˈmɑːlədʒi ɡruːp/

例句 Examples

Cohomology groups can distinguish spaces that look similar at first glance.
上同调群可以区分一些乍看起来很相似的空间。

The cohomology group \(H^2(M;\mathbb{Z})\) often encodes topological data related to line bundles and curvature on a manifold.
上同调群 \(H^2(M;\mathbb{Z})\) 往往编码与流形上的线丛及曲率相关的拓扑信息。

词源 Etymology

cohomology 由前缀 co-（“共同、对偶/对应”）与 homology（“同调”）构成，强调它与同调理论在形式上成对出现，常可视为同调的“对偶版本”（例如通过链复形取对偶得到上链复形，从而得到上同调群）。group 来自代数学中的“群”，表示这些不变量以群（多为阿贝尔群）的形式组织起来。

相关词 Related Words

• Cohomology
• Homology
• Cocycle
• Coboundary
• Chain Complex
• Cochain
• Cup Product
• Exact Sequence
• De Rham Cohomology
• Sheaf Cohomology

文学作品与经典出处 Literary Works

• Allen Hatcher, Algebraic Topology：系统介绍同调与上同调群，并强调杯积等结构。
• Raoul Bott & Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology：在微分形式与德拉姆上同调框架下频繁使用“cohomology group”。
• Edwin H. Spanier, Algebraic Topology：经典教材，严谨展开上同调群与相关公理化理论。
• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry：在层上同调语境中大量出现（如 \(H^i(X,\mathcal{F})\)）。