Biorthogonal

Definition / 定义

biorthogonal（双正交的）：指两组向量（或函数）彼此“成对正交”的关系。常见形式是：一组中的向量与另一组中的向量满足正交条件（例如内积为 0），而不要求每一组内部彼此都正交。该词多用于线性代数、数值计算、信号处理、泛函分析等语境。（也常见名词用法：biorthogonality 双正交性。）

Pronunciation / 发音

/ˌbaɪɔːrˈθɑːɡənəl/

Examples / 例句

The two bases are biorthogonal.
这两组基是双正交的。

In Krylov subspace methods, a biorthogonalization step can maintain paired orthogonality between left and right search directions.
在 Krylov 子空间方法中，双正交化步骤可以保持左、右搜索方向之间的成对正交关系。

Etymology / 词源

**bi-**（“两、双”）+ orthogonal（“正交的”）。orthogonal 源自希腊语 orthos（“直的、正确的”）与 gōnia（“角”），字面含义与“直角/正交”相关；合起来 biorthogonal 就是“双（成对）正交”的意思。

Related Words / 相关词

• Orthogonal
• Orthonormal
• Inner
• Dot
• Basis
• Dual
• Krylov
• Bilinear

Literary Works / 文学与经典用例

• Golub & Van Loan, Matrix Computations（矩阵计算；涉及双正交化/相关算法术语）
• Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems（稀疏线性系统的迭代方法；常出现双正交与相关迭代法讨论）
• Trefethen & Bau, Numerical Linear Algebra（数值线性代数；在非对称问题与相关分解/迭代背景下可能出现该术语）
• Dunford & Schwartz, Linear Operators（线性算子；讨论双正交系统等概念）
• Young, An Introduction to Non-Harmonic Fourier Series（非调和傅里叶级数导论；涉及双正交系统与展开理论）