Affine Combination

定义 Definition

affine combination（仿射组合）：在向量或点的集合中，用一组系数对它们加权相加，并且这些系数总和等于 1 所得到的结果。常写作
\[ x=\sum_{i=1}^n a_i x_i,\quad \text{且}\ \sum_{i=1}^n a_i=1 \] 它与 linear combination（线性组合） 的区别是：仿射组合多了“系数和为 1”的约束；在几何上常用来描述直线、平面等仿射子空间中的点。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈæfaɪn ˌkɑːmbɪˈneɪʃən/

例句 Examples

Any point on the line segment is an affine combination of the two endpoints.
线段上的任意一点都可以看作两个端点的一个仿射组合。

In affine geometry, affine combinations remain unchanged under translations of the coordinate system.
在仿射几何中，仿射组合在坐标系平移（整体平移）下保持不变。

词源 Etymology

affine 源自拉丁语 affinis（意为“相邻的、有关联的”），在数学里引申为“与线性结构相关、但允许平移”的“仿射”概念；combination 源自拉丁语 combinare（“把……结合在一起”）。合起来表示“按特定约束（系数和为 1）进行加权结合”。

相关词 Related Words

• Linear Combination
• Convex Combination
• Affine Space
• Affine Hull
• Span
• Barycentric Coordinates
• Coefficient
• Translation

文学与著作 Literary Works

• Convex Optimization（Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe）——在凸优化与几何直观中常用“affine combination / affine function”等表述。
• Convex Analysis（R. Tyrrell Rockafellar）——讨论凸集、仿射包（affine hull）等概念时会出现该术语。
• Linear Algebra and Its Applications（Gilbert Strang）——在线性代数与几何解释（线性/仿射结构）相关章节常见。
• Affine Geometry and Convexity（多部学术著作与论文常用标题/主题）——仿射几何语境下该术语高频出现。