阿里面试命中率最高的基础考题，你真的掌握了吗？

背包问题 (Knapsack problem) 是一种组合优化的 NP 完全问题。

一般来说，就是给定一组有固定价值和固定重量的物品，以及一个已知最大承重量的背包，求在不超过背包最大承重量的前提下，能放进背包里面的物品的最大总价值。

如果用一句话形象地描述，大概就是：有个小偷半夜闯入豪宅，可以偷的东西非常多，但是负重能力有限，偷哪些东西才更加不枉此行？

这一类问题是典型的使用动态规划解决的问题，我们可以把背包问题分成 3 种不同的子问题：0-1 背包问题、完全背包和多重背包问题，剩下一些都是这 3 种的变形以及组合。

• 01 背包

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包，第 i 件物品消耗的容量为 Ci，价值为 Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

• 完全背包

有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用，第 i 件物品消耗的容量为 Ci，价值为 Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

• 多重背包

有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，第 i 种物品最多有 Mi 件可用，每件物品消耗的容量为 Ci，价值为 Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

2.背包问题的难点在哪里？

三种背包问题都有一个共同的限制，那就是背包容量，背包的容量是有限的，这便限制了物品的选择，而三种背包问题的共同目的，便是让背包中的物品价值最大。

不同的地方在于物品数量的限制，不过虽然三种背包问题对于物品数量的限制不一样，但都可以转化为 01 背包问题来进行思考。 所以说，01 背包问题是所有背包问题的基础，弄懂了 01 背包问题后，完全背包和多重背包就没有什么困难的地方了

但真正在面试中，你可能会遇到很多背包问题的变形。如果你没有一双火眼金睛，一眼看出题目的本质其实是个背包问题，你可能会走很多弯路。 如：

• Target sum 问题（ LintCode 链接：Target sum）
• Airbnb 的 menu order 问题（点菜，菜的价格为 double, 问如何正好花完手中的钱）

本质上都是背包问题，很多同学没有看透问题的真面目，会觉得每道题都是独立的，很难做到举一反三，于是就深陷其中不得章法，如果把背包问题的几种类型都弄懂，类似的很多题其实都能迎刃而解了。

如果你不会辨别背包问题，去听《背包四讲》吧，里面讲了很多 Facebook，Google，BAT 等大厂的面试高频题（领取方式见文末）。

3.01 背包问题及其题解

背包问题都有哪些经典例题呢？

01 背包

在 N 个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？ 假设背包的大小为 V，第 i 个物品的大小为 C[i] 注意:你不可以将物品进行切割。

• LintCode 题目
• 题解

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 Ci，得到的价值是 Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大？

• LintCode 题目
• 题解

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