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jinhan13789991
V2EX  ›  数学

logX < X 对所有 X > 0 成立?

  •  
  •   jinhan13789991 · 2016-07-22 15:58:40 +08:00 · 5936 次点击
    这是一个创建于 3031 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    (注意:计算机科学中,若无特别说明,所有对数都是以 2 为底的) 在《数据结构与算法分析》这本书里看到的,但是我无论如何都无法证明,网上的证明也看过了 http://www.cnblogs.com/xpjiang/p/4133975.html ,抱歉这个归纳法我没看懂 但是在对数函数图像上, logX<x x="">0 在 X = 1/2 时明显不成立。希望V2EX上的大牛能指点下。

    16 条回复    2021-08-15 22:32:04 +08:00
    est
        1
    est  
       2016-07-22 16:02:33 +08:00   ❤️ 1


    肉眼证明。
    ooxxcc
        2
    ooxxcc  
       2016-07-22 16:03:50 +08:00
    我觉得原文漏了一条 x 为整数,否则用什么数学归纳法……
    virusdefender
        3
    virusdefender  
       2016-07-22 16:04:32 +08:00
    x = 1/2 的时候 log2 x = -1 啊
    jinhan13789991
        4
    jinhan13789991  
    OP
       2016-07-22 16:11:48 +08:00
    @ooxxcc 我也感觉是书的翻译问题
    @est
    @virusdefender
    看错了,我看成以 x 为底的对数了(捂脸)。差点以为自己在数学上有了重大发现,但是那个归纳法还是看不太明白
    wowpanda
        5
    wowpanda  
       2016-07-22 16:39:14 +08:00 via Android
    求导数,看单调性,你就知道了
    aristotll
        6
    aristotll  
       2016-07-22 16:39:46 +08:00
    用导数容易证明
    logx<x-1(x>1)

    估计是算法里默认为正整数的缘故吧....
    cfans1993
        7
    cfans1993  
       2016-07-22 17:03:14 +08:00
    不知道证明的对不对, 一些限制条件自己加一下
    https://ooo.0o0.ooo/2016/07/22/5791e360020de.jpg
    wzxjohn
        8
    wzxjohn  
       2016-07-22 17:17:31 +08:00
    看到标题吓得我以为我对数白学了。。。
    rrfeng
        9
    rrfeng  
       2016-07-22 17:17:56 +08:00
    这个不是高中数学的内容吗?

    敢问楼主哪里的……
    SuperFashi
        10
    SuperFashi  
       2016-07-22 19:18:50 +08:00 via Android
    wait ,第一句话,“计算机科学中,对数都是以 2 为底的”,据我所知, log 默认都是以 e 为底的啊……
    blacktulip
        11
    blacktulip  
       2016-07-22 19:25:08 +08:00
    @SuperFashi e 底一般写成 ln
    SuperFashi
        12
    SuperFashi  
       2016-07-22 19:42:03 +08:00 via Android
    @blacktulip 这是数学表达,数学表达中 log 是 2 底, ln 是 e 底, lg 是 10 底
    yhylord
        13
    yhylord  
       2016-07-22 20:32:30 +08:00
    @SuperFashi 一般内置的数学函数是以 e 为底,但是在 CS 教材里面写 log 都是以 2 为底的。
    ga6840
        14
    ga6840  
       2016-09-26 10:37:45 +08:00
    A1B2C3D4
        15
    A1B2C3D4  
       2021-08-15 22:26:32 +08:00 via Android
    令 x = 2ⁿ( n∈R ),
    即证明 n<2ⁿ在 n∈R 时恒成立,
    令 m ( n )= 2ⁿ- n ( n∈R),
    因为(2ⁿ- n)'= 2ⁿln2 - 1,
    而 p ( m )= 2ⁿln2 - 1 在 n∈R 上↗,
    且 n = log ( loge )时,2ⁿ- n = 0,
    所以 m(n)在(-∞,log(loge)]↘,在[ log(loge),+∞)↗,有最小值 m[log ( loge )],
    所以只需证明最小值> 0 即可,因为
    2^[log ( loge )]-log(loge)= loge-log(loge)
    A1B2C3D4
        16
    A1B2C3D4  
       2021-08-15 22:32:04 +08:00 via Android
    @A1B2C3D4 = log ( e/loge )= log ( log2^e/loge )
    而 2^e/e > 2²/e = 4/e > 1
    推出 log ( 4/e )> 0
    所以 log ( 2^e/e )> log ( 4/e )> 0
    所以假设成立
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